Sobre la desigualdad de Samuelson

Question

Si tenemos un conjunto de$n$numeros reales:$$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$la media aritmética es:$$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$y la desviación estándar:$$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$Si el conjunto de$n$Los números están acotados de modo que:$$m\le x_i\le M$$un refinamiento de la desigualdad de Samuelson probado por Bhatia y Davies es:$$S^2\le (M-A)(A-m)$$Mi pregunta es: ¿cuándo se mantiene la igualdad? ¿Se mantiene la igualdad para cualquier tipo de distribución de los números en$\Omega?$

Answer 1

Para cualquier$i$vemos eso$S^2$es una función convexa de$x_i$, que dice:$$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$Id est, la igualdad ocurre para$x_1=x_2=...=x_k=m$y$x_{k+1}=...=x_n=M.$

Ahora, tenemos que elegir un valor de$k$, para lo cual obtendremos un valor máximo.

Espero que ayude.