Solución al ejercicio de generación de funciones 1a.

Question

La pregunta es:

1. Encuentre las funciones generadoras de series de potencias ordinarias de cada una de las siguientes sucesiones, en forma simple y cerrada. En cada caso la secuencia se define para todos$n\geq0$. (a)$a_n=n$

esta es la funcion$A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, que reescribo como:$A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

Cada uno de los términos es una serie geométrica, así que escribí esto como

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

Por lo tanto, mi respuesta sería$A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Sin embargo, la clave de respuestas al final del libro dice que la respuesta es "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Si bien mi función de generación se parece a la derecha de la clave de respuestas, no entiendo lo que significa la izquierda. ¿Hay algo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

los$LHS$es simplemente otra forma de obtener la misma función generadora que encontraste. Dice: saca la derivada de$1/(1-x)$y luego multiplicar por$x$.