Subespacios complementarios, pregunta de verdadero/falso
¿Verdadero o falso?
$W_1$,$W_2$y$W_3$son subespacios del espacio vectorial$V$. Si$W_1 ⊕ W_2 = V$y$W_1 ⊕ W_3 = V$, después$W_2 = W_3$.
De hecho, me hicieron esta pregunta más pequeña en un examen y dije que era verdad, pero luego me dijeron que era falso. ¿Puede alguien explicarme por qué para que pueda ver intuitivamente en mi cabeza que es realmente falso? Sólo entonces se me ocurre un contraejemplo.
Gracias por adelantado.
Respuestas
$W_2$y$W_3$son isomorfos, pero podrían no ser el mismo subespacio.
Una forma de ver esto es elegir primero una base$B$de$W_1$. Hay diferentes formas de extender esta base a una base de$W_1 \oplus W_2$, por lo que los vectores adicionales sumados a$B$podría abarcar diferentes subespacios.
Otra forma es imaginar un automorfismo$\alpha$de$V$, (es decir$\alpha:V \to V$es un mapa lineal invertible). Suponer que$W_1$es un subespacio invariante de$\alpha$. Después$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$por todo eso$\alpha$.
¡De hecho está mal! Tienes por ejemplo que$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$pero$$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$