Suma de una suma de dos variables

Question

Estoy tomando un curso de química física y algunos de nuestros problemas de práctica incluyen sumas de sumas, que nunca antes había tratado. Tengo la respuesta, pero no entiendo de dónde vino, ¿por qué no hay términos con$ i $ o $ j $¿izquierda? Pensé que tomó la suma interna y luego hizo la suma externa, pero parece que no puedo obtener la respuesta correcta ya que todo está en términos de las dos variables.

El problema: ¿Cuántos términos hay en la siguiente suma? Escribe los términos.$$ S = \sum _ { i = 1 } ^ 3 \sum _ { j = 1 } ^ 2 x _ i y _ j $$

La solución: Seis términos:$$ x _ 1 y _ 1 + x _ 1 y _ 2 + x _ 2 y _ 1 + x _ 2 y _ 2 + x _ 3 y _ 1 + x _ 3 y _ 2 $$

Answer 1

Obtenemos

\begin{align*} \color{blue}{S}&\color{blue}{=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^2x_iy_j}\\ &=\sum_{i=1}^3x_i\sum_{j=1}^2y_j\tag{1}\\ &=\sum_{i=1}^3x_i\left(y_1+y_2\right)\tag{2}\\ &=x_1\left(y_1+y_2\right)+x_2\left(y_1+y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2\right)\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+x_3y_1+x_3y_2} \end{align*} y el reclamo sigue.

Comentario:

• En (1) factorizamos $x_i$ de la suma interna, ya que no dependen del índice $j$.

• En (2) expandimos la suma interna.

• En (3) expandimos la suma externa.

• En (4) multiplicamos.

Answer 2

Calcula la suma interna para cada valor del índice $i$de la suma externa. Por lo tanto, estableces$i=1$ y calcular $\sum_{j=1}^2x_1y_j$, cual es $x_1y_1+x_1y_2$. Luego incrementas$i$ a $2$y calcule la suma interna nuevamente; ahora es$\sum_{j=1}^2x_2y_j=x_2y_1+x_2y_2$. Finalmente, incrementas$i$ a $3$ y hazlo una vez más: $\sum_{j=1}^2x_3y_j=x_3y_1+x_3y_2$. El valor de la expresión es la suma de estas tres sumas, o

$$x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+x_3y_1+x_3y_2\,.$$

Puede pensar en él como un programa de computadora, si se siente cómodo con tales cosas. Cada suma es, en efecto, un for-nextbucle:

S=0;
for i=1 to 3 do;
   for j=1 to 2 do;
      S=S+x(i)y(j);
   next j;
next i;