Superficies Kummer que no son proyectivas

Question

Esta es una pregunta de una nota en línea. Dejar$A$ ser bidimensional $\mathbb C$-toro. Y hay una involución en$A$: $A\to A, x\mapsto -x$. La acción tiene 16 puntos fijos. Dejar$Y:=A/\{\pm1\}$, entonces $Y$es una superficie compleja con 16 puntos dobles ordinarios. Dejar$X$ ser la explosión de $Y$en los 16 puntos singulares. Después de algunos cálculos, podemos ver$X$ es un $K3$superficie. Entonces se afirma que si$A$ no es proyectivo entonces $X$ no es proyectiva y obtenemos un ejemplo de una no proyectiva $K3$superficie. Pero me siento confundido por qué "si$A$ no es proyectivo entonces $X$ no es proyectiva ".

Lo se desde $A\to X$ es finito, entonces si $Y$ es proyectiva, entonces podemos retirar un paquete de línea amplio a una línea amplia para $A$. Pero no puedo ver por qué$X$ es proyectivo implica $Y$es proyectivo? ¿Tenemos que contraer una curva racional sobre una superficie compleja preserva la proyectividad?

Answer 1

De hecho, $X$ es proyectiva si y solo si $A$ es proyectiva.

Si $A$ es proyectiva, entonces $Y$es así, siendo el cociente de una variedad proyectiva por un grupo finito (este es un modelo de juguete de GIT, vea esta pregunta MO). Entonces$X$ es proyectiva, también, siendo la explosión de la variedad proyectiva $Y$ en un número finito de puntos.

Por el contrario, suponga $X$descriptivo. Entonces hay una doble tapa$\tilde{A} \to X$, dónde $\tilde{A}$ es la explosión de $A$ en su $16$ puntos de orden $2$. Esto muestra que$\tilde{A}$ es proyectivo, por lo que el derribo $A$ es proyectiva también (un argumento alternativo es notar que $X$ proyectivo implica $Y$ proyectivo y así $A$ proyectiva, ya que contraer un $(-2)$ curva en una superficie proyectiva preserva la proyectividad, como se explica en el comentario de abx).