Sustitución / cambio de variable en integración

Question

Las técnicas de integración son nuevas para mí en este momento, y me asignaron esta integral. Mi profesor recomienda usar sustitución / cambio de variable para integrar esta función.

$$\int (x^6+x^3)\sqrt[3]{x^3+2} dx$$

Me dio una pista después de pedirle ayuda y me dijo ¨Mira qué hay dentro de la raíz cúbica, para que cuando tomes la derivada de lo que está dentro, obtengas lo que está fuera de la raíz cúbica. Para que esto funcione, podrías intentar factorizar algo de x ^ 3 + 2, de esa manera cuando lo derives, el resultado puede ayudarte con todo lo que está en el exterior de la raíz cúbica. ”Estaba pensando, por ejemplo, x ^ 3 + 2 = x ^ 3 (1 + 2x ^ -3)

Answer 1

Reescribiría la integral como

$$\int x\color{red}{x^2}(x^3+1)\sqrt[3]{\color{red}{x^3+1}+1}\,\mathrm dx$$

luego sustituye $u=x^3+1$ (lo que da $x=\sqrt[3]{u-1}$) y $\mathrm du=3x^2\,\mathrm dx$ Llegar

$$\frac13\int\sqrt[3]{u-1}u\sqrt[3]{u+1}\,\mathrm du=\frac13\int u\sqrt[3]{u^2-1}\,\mathrm du$$

Luego otra sustitución, $v=u^2-1$ y $\mathrm dv=2u\,\mathrm du$, dejándote con

$$\frac16\int\sqrt[3]{v}\,\mathrm dv$$