Tasa marginal de sustitución para complementos perfectos
Me he encontrado con el siguiente problema:
Determine la tasa marginal de sustitución MRS (x1, x2) en el punto (x1, x2) = (5,1) para la siguiente función:
u (x1, x2) = mínimo (x1, x2).
La solución es que el MRS no está definido en ese punto.
Sin embargo, no entiendo por qué es así. Con esta función de utilidad, obtenemos una trayectoria de expansión del ingreso que va exactamente 45 grados desde el origen, porque los dos bienes se consumen siempre en cantidades iguales. Y hasta donde yo sé, la MRS de dicha función (u (x1, x2) = min (αx1, βx2)) solo está indefinida en los ángulos exactos de estas curvas, es decir, donde x2 = (α / β) x1. En el problema que nos ocupa, sin embargo, tenemos x2 <(α / β) x1, es decir, 1 <5. ¿No debería esto significar que la MRS en el punto (5, 1) es en realidad 0 y no está indefinida?
Respuestas
Creo que esta es una pregunta capciosa.
Primero, tiene toda la razón. MRS no está definida en el pliegue; esto es trivial. MRS es la pendiente de la curva de indiferencia, que en este caso tiene forma de L, y las derivadas no están definidas en el pliegue.
Entonces esto nos deja con otras dos partes de la función en forma de L. La parte vertical y la parte horizontal.
Sobre la porción horizontal de la curva de indiferencia $\alpha x_1 > \beta x_2$ la MRS se da como:
$$MRS= \frac{U'_{x_1}}{U'_{x_2}} = \frac{0}{\beta}= 0 $$
Entonces aquí la MRS está claramente definida.
Sin embargo, en la parte vertical donde $\alpha x_1<\beta x_2$ tendremos un problema ya que:
$$MRS = \frac{U'_{x_1}}{U'_{x_2}} = \frac{\alpha}{0} = \infty | x_1 \wedge x_2 \geq 0 $$
pero aquí a causa de la división por $0$ algunas personas todavía dicen que la MRS no está definida.
Sin embargo, la parte complicada aquí es la elección de qué bien sigue $x$-eje y que bien sigue $y$-eje es arbitrario. Por lo general, la gente pondría$x_1$ en $x$-eje y $x_2$ en $y$-eje, pero está completamente bien en principio poner $x_1$ en $y$-eje y $x_2$ en $x$-eje. En ese caso, el resultado anterior se revertiría exactamente.
Si esto es para un examen, a menudo las personas que redactan ejercicios solo hacen una clave de respuestas simple que puede no cubrir todas las soluciones posibles y tal vez la clave de respuestas incluye una opción donde su función se invirtió.
Estaba equivocado antes. Estoy de acuerdo con usted, parece que debería ser cero, y solo indefinido en el punto donde no existen las derivadas de las funciones de utilidad.
Piense en la utilidad Leontief como utilidad CES donde $\lim \rho \rightarrow \infty$. La utilidad CES es:$$U(x_1,x_2, \rho) = (x_1^\rho + x_2^\rho) ^{1/\rho}$$ La MRS de una función de utilidad CES es: $$MRS = - (\frac{x_1}{x_2})^{\rho-1} $$ Tomando el límite como $\rho \rightarrow \infty$: $$MRS = -(\frac{x_1}{x_2})^{\infty}$$ Cuando $x_2 > x_1$la MRS es negativa es infinita negativa. Cuando$x_1 > x_2$ (como está aquí), la MRS es 0. Cuando $x_1 = x_2$, la función de utilidad de Leontief no es diferenciable y esta función no existe.
Fuente:
Notas de la conferencia sobre teoría microeconómica de Guoqiang Tian (2013)