teorema bipolar

Question

Me quedé atascado con el siguiente problema mientras realizaba la prueba de Lemma$1.9$(i) del libro 'Lectures on von Neumann Algebras' de Strătilă y Zsidó.

Dejar$\mathscr{B}$sea ​​un espacio de Banach y$\mathscr{B}^*$ser el doble de$\mathscr{B}$. Dejar$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$sea ​​un subespacio vectorial cerrado por normas tal que$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(es decir, isométricamente isomorfo) a través de la forma bilineal canónica en$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Considera el$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topología en$\mathscr{B}$que se define por la familia de semi-normas$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, donde$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$por$x\in \mathscr{B}$. Dejar$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$ser un$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-subespacio vectorial cerrado.

problema: si$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, luego prueba que$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Los autores llaman$\mathscr{M}^{\circ}$el polar de$\mathscr{M}$y luego dice que la conclusión se sigue del teorema bipolar. Pero no encontré ninguna referencia para ese 'teorema bipolar'. Entonces, ¿alguien podría ayudarme con una referencia adecuada para ese 'teorema bipolar' junto con la solución? Gracias por adelantado.

Answer 1

Dejar$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Tenemos$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$por definición de$\mathscr M^o$. Supongamos que existe$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Como$\mathscr M$es convexo y$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-cerrado, por Hahn-Banach existe$\varphi$, lineal y$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- continuo, con$\varphi(z)=1$y$\varphi|_{\mathscr M}=0$. los$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-los funcionales continuos en el dual del espacio localmente compacto son precisamente aquellos en el predual (ver, por ejemplo, el Teorema V.1.3 en A Course in Functional Analysis de Conway ); entonces$\varphi\in\mathscr B_*$. Luego$\varphi\in\mathscr M^o$; como$z\in\mathscr M^{oo}$, tendríamos$\varphi(z)=0$, una contradicción. Entonces$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.