Teorema del determinante de Sylvester

Question

Necesito ayuda para probar la siguiente fórmula :

$log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|=(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|$

La matriz $\varPhi_N$ tiene dimensión $n \times N$ mientras que la matriz $P(\alpha)$ tiene dimensiones $n \times n$y es positivo (¿semi?) - definido. La variable$\sigma^2$ tiene dimensión $1 \times 1$ (escalar no negativo: $\sigma^2\ge0$).

Cualquier ayuda para abordar la simplificación anterior es bienvenida. Gracias

Lo que probé hasta ahora: $(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=log(|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|)=log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\implies$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot P(\alpha)\cdot P(\alpha)^{-1}+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot I_n+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot(N-n)} \cdot \sigma^{2\cdot n}\cdot|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot N} |I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

dejar $A=\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N$ y $B=\varPhi_N^T$

tenemos el teorema determinante de Sylvester:

$|I_n+A \cdot B|=|I_N+B \cdot A|$

Answer 1

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