Topología: un enfoque categórico, ejercicio 0.3 d), e)

Question

Ejercicio:

Mi intento:

No puedo encontrar ejemplos ni para d) ni para e), pero tengo algunas teorías sobre lo que podría estar buscando.

Respecto a d), en $\mathsf{Top}$los morfismos son funciones continuas entre espacios topológicos. Necesito una función continua$f \colon X \to Y$eso es cancelable por la izquierda y por la derecha pero no es un homeomorfismo. Dado que cancelativo izquierdo y derecho significa inyectivo y sobreyectivo (para funciones, al menos), tal función$f$será necesariamente biyectiva. Por eso busco una biyección continua$f \colon X \to Y$ tal que $f^{-1}$ no es continuo.

Con respecto a e), un comentario sobre MathOverflow dijo que podría considerar$(0, 1)$ y $[0, 1]$ de $\mathsf{Top}$, pero el nivel de discusión está un poco por encima de mi nivel salarial. Supongo que el morfismo entre los dos se consideró obvio, pero no sé cuál sería. Me imagino que necesito una función inyectiva continua en cada sentido, de modo que no pueda haber una biyección continua en cada sentido.

Agradezco cualquier ayuda.

Editar:

Ahora estoy confundido con respecto a e). Dado que la continuidad preserva la compacidad, ¿no significa eso que no hay morfismo de ningún tipo?$[0, 1] \to (0, 1)$?

Answer 1

Para d) pensar en cualquier espacio topológico$X$ con una topología $\tau$ que no es indiscreto entonces la función de identidad $id:(X,\tau)\to (X,I(X))$ satisface las condiciones.

Para e) observe que cualquier incrustación$[0,1]\to (0,1)$ (por ejemplo, la biyección lineal entre $[0,1]$ y $[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$) y la inclusión $(0,1)\hookrightarrow[0,1]$ Hay dos monomorfismos pero los conjuntos claramente no son homeomorfos.

Answer 2

De hecho, es cierto que un monomorfismo en $\mathbf{Top}$ es una inyección, porque esto se mantiene en $\mathbf{Set}$ y podemos dar a cualquier conjunto el discreto en el dominio o la topología indiscreta en el comdominio y hacer que cualquier función entre conjuntos sea un morfismo en $\mathbf{Top}$ etc.

Entonces en $\mathbf{Top}$ $f$ es un monomorfismo si $f$ es una función continua inyectiva, y $f$ es un epimorfismo si $f$ es una función continua sobreyectiva.

Un ejemplo estándar de biyección continua $f:A \to B$ entre espacios que no es un homeomorfismo es tomar cualquier conjunto $X$ de dos o más puntos, donde $A = (X, \mathscr{P}(X))$ (la topología discreta en $X$) y $B=(X,\{\emptyset,X\})$ (la topología indiscreta en $X$) y $f(x)=x$ para todos $x \in X$.

Entonces esto no es un isomorfismo en $\mathbf{Top}$ (es decir, un homeomorfismo) porque $A$ es Hausdorff y $B$ no es o simplemente porque $f$ no es un mapa abierto (un singleton en $A$ está abierto y su imagen en $B$ no es etc.).

En $\mathbf{Top}$ incluso podemos tener biyecciones continuas $f: X \to Y$ y $g: Y \to X$ y todavía $X$ y $Y$siendo no homeomórfico, vea por ejemplo esta vieja pregunta sobre Mathoverflow.

O más simplemente $X = [0,1]$ y $Y = (0,1)$en la topología euclidiana ambos. Uno es compacto, el otro no, por lo que no es homeomorfo (no isomorfo en$\mathbf{Top}$).

$X$ incrusta en $Y$ vía $f(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{3}x$ por ejemplo y $Y$ es incluso un subespacio de $X$ entonces $i(x)=x$ haré.