Transformada estricta de una curva tangente en explosión

Question

$\DeclareMathOperator{\Bl}{\operatorname{Bl}}$Se sabe que si tenemos una variedad proyectiva $X$ y una subvariedad suave proyectiva $Y$ luego el divisor excepcional $E \subset \Bl_{Y}X$ de la explosión de $X$ a lo largo de $Y$ es la proyectivización del paquete normal $N_{Y|X}$. En puntos particulares en$E$ parametriza líneas (direcciones) normales a $Y$.

Mi pregunta ahora es la siguiente: supongamos por simplicidad que $X= \mathbb{P}^3$ y $Y=\ell$es una línea. Si tenemos un punto$p \in \ell$ y una curva suave $C \subset \mathbb{P}^3$ tal que $\mathbb{T}_pC=\ell$, Entonces sí $$\nu:\Bl_{\ell}\mathbb{P}^3 \rightarrow \mathbb{P}^3$$ cual es la interseccion $\widetilde{C} \cap E$, dónde $\widetilde{C}$ es la estricta transformación de $C$ debajo $\nu$?

En general, si tengo una curva tangente al locus que estoy explotando, ¿a dónde va su "dirección" si el locus excepcional parametriza solo las direcciones normales?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Si $C \subset X$ es una curva suave y $p \in C$hay un plano único (el llamado plano osculador )$$ T^2_pC \subset T_pX $$ en el espacio tangente $T_pX$ a $X$ a $p$ tal que $C$ cualquier elemento de $T_p^\vee X = \mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}^2_p$ desapareciendo en $T^2_pC$ desaparece para pedir 2 en $C$ a $p$. Por supuesto, contiene la línea tangente.$T_pC$. Así que si$T_pC = \ell$ entonces este plano define una dirección normal a $\ell$ a $p$; el punto correspondiente de$E$ es el punto de intersección de $\tilde{C}$ con $E$.