¿Transformada integral reducida?

Question

Descubrí que las siguientes integrales son iguales:

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Dejar $f^s(x)=x^s,$ entonces el LHS se puede escribir como $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

Me recuerda a la transformación de Mellin sobre un soporte acotado.

¿Es el RHS una especie de transformación Mellin disfrazada?

Parece ser. Esto significa que para una constante$r>0$ la siguiente integral representa una transformada de Mellin donde el único objeto en el integrando es el kernel:

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Entonces, para este kernel específico, creo que la transformación de Mellin se puede escribir solo usando el kernel en sí.

¿Es eso correcto?

Answer 1

Xa $s > 0$, asumiendo que converge absolutamente en algún intervalo $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

Así que sí, el RHS es una transformación de Mellin y Laplace disfrazada.

Más divertido al preguntar (por continuación analítica) por qué $f$ y en qué sentido (analítico funcional) la igualdad permanece verdadera para $\Re(s)\in (a,b)$ complejo.