Transformando Observables, Malentendido Griffiths, Intro. a QM, o una definición diferente
En la introducción de Griffiths . a QM 3rd, Sec. 6.2 , transformando un observable$Q$ por el operador de traducción $T$ se encuentra que es $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ lo mismo para el operador de paridad $\Pi$ en vez de $T$ tenemos $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.
Pero en otros textos, por ejemplo, Tannoudji, QM, 2ª ed., Vol. I, Complementos del capítulo VI, Complemento B$_{VI}$, 5. Rotación de observables , y también en otras cuestiones aquí y aquí la transformación de lo observable$A$ por una transformación unitaria $U$ debiera ser $$ A' = UA\ U^\dagger $$ dónde $U$, según tengo entendido, debería ser una transformación activa, ya que $T$anterior y esperaba que las dos ecuaciones fueran iguales. Pero parece que las dos definiciones no son equivalentes, ¿o hay algún error?
ADICIONAL
Definición de Griffiths:
El operador transformado $\hat Q'$ se define como el operador que da el mismo valor esperado en el estado no traducido $\psi$ como hace el operador $\hat Q$ en el estado traducido $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$Hay dos formas de calcular el efecto de una traducción en un valor esperado. En realidad, se podría cambiar la función de onda a cierta distancia (esto se llama transformación activa ) o se podría dejar la función de onda donde estaba y cambiar el origen de nuestro sistema de coordenadas en la misma cantidad en la dirección opuesta (una transformación pasiva ). El operador$\hat Q'$ es el operador en este sistema de coordenadas desplazado.
Usando la Ec. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
Definición de Tannoudji:
Supongamos que el sistema está en el estado propio $|u_n\rangle$ de $A$: el dispositivo para medir $A$ en este sistema dará el resultado $a_n$sin fallar. Pero justo antes de realizar la medición, aplicamos una rotación$\scr R$al sistema físico y, simultáneamente, al dispositivo de medición; sus posiciones relativas no cambian. En consecuencia, si el observable$A$ que estamos considerando describe una cantidad física adjunta solo al sistema que hemos rotado (es decir, independiente de otros sistemas o dispositivos que no hemos rotado), entonces, en su nueva posición, el dispositivo de medición seguirá dando el mismo resultado $a_n$sin fallar. Ahora, después de la rotación, el dispositivo, por definición, mide$A'$, y el sistema está en el estado: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ Por tanto, debemos tener: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ es decir: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
Tenga en cuenta que $\scr R$ es la rotación del espacio físico tridimensional y $R$ es su operador representativo en el espacio Hilbert.
Respuestas
Hay dos ideas físicamente diferentes con diferentes propiedades matemáticas al definir la acción ( activa ) de una simetría en observables en física cuántica.
Suponga que, de acuerdo con el teorema de Wigner ,$U$ es una transformación unitaria o anti-unitaria de vectores estatales $\psi$correspondiente a una acción activa sobre los estados de un sistema cuántico.
Si $A$es un observable, tenemos la acción dual ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$y la doble acción inversa $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
El primero tiene el significado de una acción sobre los instrumentos físicos de medición, de modo que el efecto sobre los resultados en el estado sin cambios es el mismo que los resultados de los estados cambiados en los observables sin cambios. Es decir, en lugar de traducir el sistema$x$, Traduzco los instrumentos $-x$.
Este último tiene el significado de una acción sobre los instrumentos de medición que anula la acción de la simetría en el sistema en lo que respecta a los resultados de las mediciones.
Las pruebas de estos hechos son triviales desde el formalismo básico de QM (ver la Nota final ).
Existe una diferencia matemática fundamental cuando se habla de la acción de un grupo de simetría $G$ representado por una representación unitaria (o proyectiva unitaria) en los vectores estatales $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ Como de costumbre, (hasta fases) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ dónde $\circ$ es el producto en $G$ y $e$es el elemento de identidad. De ahora en adelante uso la taquigrafía$S_g := S_{U_g}$ y de manera similar para $S^*$.
La acción dual inversa define una representación adecuada de $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ mientras que la acción dual define una representación izquierda $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$El uso de una u otra acción es cuestión de conveniencia y depende de la interpretación física. En QFT la acción natural del grupo de isometrías del espacio-tiempo sobre los observables de campo generalmente se implementa a través de$S^*$.
NOTA .
Si $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ es la descomposición espectral del operador autoadjunto $A$ y $U$ es un operador unitario o antiunitario, entonces $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ En otras palabras, la medida espectral $P^{(UAU^{-1})}(E)$ de $UAU^{-1}$ es solo $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.
Por tanto, la probabilidad de que el resultado de $A$ se queda en $E\subset \mathbb{R}$ cuando el estado está representado por el vector unitario $\psi$ es $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ dando lugar a dicha interpretación de $S_U(A)$: actuando $A$ con $S_U$ y dejar fijo el estado equivale a actuar sobre $\psi$ con $U$ y dejando $A$ sin alterar.
En particular, en particular con respecto a los valores esperados, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
Similar, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ dando lugar a dicha interpretación de $S^*_U(A)$: la acción en $A$ con $S_U^*$ cancela la acción de $U$ en $\psi$.
En particular, en particular con respecto a los valores esperados, $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$