Un subespacio cuyo complemento ortogonal es {0}

Question

Dejar $L$ ser un conjunto de todas las secuencias acotadas de $\mathbb{R}$. Entonces es fácil demostrar que$L$es un espacio vectorial con respecto a la suma normal y la multiplicación escalar. Definir una función en$L \times L$ dada por $$\langle(a_i) , (b_i)\rangle = \sum _{i = 1}^{\infty} {\frac{a_i b_i}{i^2}}.$$

Verificar que la función anterior es un producto interno (producto escalar) es un cálculo de rutina.

El complemento ortogonal de un subconjunto $U$ de un espacio vectorial $L$ es $\,$ $U^* = \{\, A\in L: \, \langle A,B\rangle = 0 \, \text{and}\, \,\text{ for any} \,B\in U \,\}$.

Si el espacio vectorial es de dimensión finita y $\,U$ es el subespacio, entonces tenemos muchas propiedades agradables como $U^{**} = U \,$ y cualquier vector en el espacio vectorial se puede escribir de forma única como suma de vectores $U$ y $U^*$y muchos más. Aquí observamos que si$U$ es un subespacio entonces $U^*$ no puede ser $\{ 0\}$ porque el complemento ortogonal de $\{0\}$ es el espacio vectorial en sí mismo.

Aquí obviamente $L$no es un espacio vectorial de dimensión finita. ¿Existe algún subespacio adecuado distinto de cero de$L$ cuyo complemento ortogonal es $\{0\}$ ?

Answer 1

Dejar $M:=\{(a_n):\exists m,\ n>m\Rightarrow a_n=0\}\subset L$ser el subespacio de secuencias finitas. Luego$M^\perp=\{0\}$.

Prueba: Supongamos $(b_n)\in M^\perp$ y considerar para $m\in\mathbb{N}$, $$(a^m_n):=(1,2^2,\ldots,n^2,\ldots,m^2,0,\ldots)\in M$$

Luego $$\forall m,\quad0=\langle (a^m_n),(b_n)\rangle=b_1+b_2+\cdots+b_m$$ Insinuando $(b_n)=0$.