¿Una función que expresada como una serie de Taylor es diferenciable y/o continua en el rango de convergencia?

Aug 17 2020

Suponga que f(x) es una función infinitamente diferenciable en una vecindad de$0$, y que el radio de convergencia de su serie de Taylor alrededor$0$,$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, es 8.

¿Significa que$f(x)$es continua y/o diferenciable en$(-8,8)?$¿y por qué?

Respuestas

Vercassivelaunos Aug 17 2020 at 03:46

No, no lo hace. Por ejemplo, puedo tomar cualquier serie de potencias$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$con radio de convergencia$8$y luego definir

$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$

La expansión de Taylor de esta función alrededor$0$es solo la serie de potencias dada, pero solo concuerda con la serie de potencias dentro del intervalo$(-1,1)$, aunque la serie de potencias tiene un radio de convergencia mayor. Pero si$f$en realidad está de acuerdo con su serie de Taylor sobre$(-8,8)$, en otras palabras, es analítico, entonces sí, será diferenciable (incluso infinitamente a menudo) en todo el intervalo. Pero la analiticidad es una condición muy fuerte, por lo que no siempre se puede asumir.

zkutch Aug 17 2020 at 08:46

Relación entre dado$f$La función y su serie de Taylor pueden ser complicadas. es un ejemplo famoso$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$que es infinitamente diferenciable con$f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. la serie taylor$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$converge en todos$\mathbb{R}$, es decir, su radio de convergencia es$R=\infty$pero coincide con la función sólo en el origen. Ahora podemos tomar alguna función$g$que igual$f$sólo en origen es algún barrio, pero puede ser de cualquier tipo fuera, por ejemplo no continuo.

Entonces, es útil tener una condición necesaria y suficiente para$\boldsymbol{f}$ función para ser representable por su serie de Taylor en el intervalo de convergencia$(-R,R)$, dónde$R$es el radio de convergencia. Uno es el siguiente:

Resto de Taylor en forma de Maclaurin$R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$en un intervalo dado tiende a$0$, dónde$p>0$,$\xi$Entre$x$y$a$.