Una pregunta que combina integral generada y límites

Question

Después de resumir algunos ejemplos, hago una suposición:

$f(x)>0$ es una función continua en $[0, +\infty)$, $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}$ converge, entonces $\lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^{\lambda}f(x)\mathrm{d}x=+\infty$.

Creo que es correcto, pero no tengo ni idea de cómo probarlo. Muchas gracias si puede proporcionar una prueba válida o algunas pistas.

Answer 1

Dejar $\lambda >0$. Luego, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

\begin{align} \lambda &= \int_0^\lambda 1 dx = \int_0^\lambda \sqrt{f(x)}\frac{1}{\sqrt {f(x)}} dx \\ &\le \sqrt{ \int_0^\lambda f(x) dx} \sqrt{\int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx}\\ \Rightarrow &\lambda ^2 \le \int_0^\lambda f(x) dx \int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx \end{align} Así

$$\tag{1} \frac{1}{\lambda} \int_0^\lambda f(x) dx \ge \lambda \left( \int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx\right)^{-1}.$$

Ya que

$$\int_0^\infty \frac{1}{f(x)} dx$$converge, converge a algún número positivo. Por lo tanto, el RHS de (1) va al infinito como$\lambda \to +\infty$.