Una pregunta sobre afinidad asintótica y convexidad estricta con medios ilimitados.
Dejar $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ ser un $C^1$ función estrictamente convexa.
Dejar $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c<b_n \in [0,\infty)$ satisfacer $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n \tag{1}$$ y asumir que $c_n \to ֿ\infty$. (lo que implica$b_n \to ֿ\infty$). $c>0$ es solo una constante, para hacer $a_n$ encerrado.
Conjunto $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $y asumir que $\lim_{n \to \infty}D_n=0$
Pregunta: ¿Tiene$\lambda_n \to 0$?
Mi intuición es que incluso si $F$ se vuelve "menos convexo" (más cercano a ser afín) cuando $x \to \infty$, entonces no podemos poner mucho peso en el $a_n$-ya que de lo contrario nos golpea la "brecha de convexidad" entre $a_n$ y $b_n$ por una cantidad no despreciable, que debería hacer $D_n$ grande.
Editar:
Este es un intento de comprender la respuesta de Ron P:
Tenemos $D(a_n,c_n,b_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F( b_n)-F(c_n)$, dónde $ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n) b_n=c_n$.
Similar, $D(a,c_n,b_n)=\tilde \lambda_n F(a)+(1-\tilde \lambda_n)F( b_n)-F(c_n)$, dónde $ \tilde\lambda_n a +(1-\tilde \lambda_n) b_n=\tilde c_n$.
Suponer que $a_n \to a$. (Esto implica$\lambda_n-\tilde \lambda_n \to 0$). Tenemos
$$D(a_n,c_n,b_n)-D(a,c_n,b_n)=\lambda_n F(a_n)-\tilde \lambda_n F(a)+(\tilde \lambda_n-\lambda_n)F(b_n). \tag{2}$$ El primer término tiende a cero, ya que $F(a_n) \to F(a)$ y $\lambda_n-\tilde \lambda_n \to 0$.
¿Por qué el segundo término tiende a cero? no tenemos control sobre$F(b_n)$, ¿derecho?
Respuestas
La respuesta es sí.
De hecho, al cambiar la escala, sin pérdida de generalidad (wlog) $c=1$. Para simplificar las notaciones, dejemos$f:=F$, $a:=a_n$, $b:=b_n$, $c:=c_n$, $t:=\lambda_n$, $D:=D_n$. Pasando a una subsecuencia, wlog$a\to a_*\in[0,1]$ y $t\to t_*\in(0,1]$. Además, wlog$a+2\le c$, ya que $a\le1$ y $c\to\infty$. Además, wlog$b>c$, desde wlog $t>0$ y $c>a$.
Por la convexidad de $f$ y desigualdades $a+1\le a+2\le c$, \ begin {ecuación *} f (a + 1) \ ge f (c) + \ frac {a + 1-c} {bc} \, (f (b) -f (c)). \ tag {1 } \ end {ecuación *} Usando ahora la convexidad de$f$ de nuevo junto con la desigualdad $a+2\le c$ y (1), tenemos \begin{align*} 0\le d&:=\frac{f(a)+f(a+2)}2-f(a+1) \\ &\le \frac{f(a)}2+\frac12\,\frac{(c-a-2)f(a)+2f(c)}{c-a}-f(a+1) \\ &=\tilde d:=\frac{(c-a-1)f(a)+f(c)}{c-a}-f(a+1) \\ &\le\frac{(c-a-1)f(a)+f(c)+D}{c-a} \\ &\ \ -\Big(f(c)+\frac{a+1-c}{b-c}\,(f(b)-f(c))\Big) \\ &=\tilde D:=\frac{b-a-1}{b-a}\frac Dt\sim\frac D{t_*}\to0, \end{align*}de modo que \ begin {ecuación *} d \ to0. \ etiqueta {2} \ end {ecuación *} Por otro lado, \ begin {ecuación *} d \ to \ frac {f (a _ *) + f (a _ * + 2)} 2-f (a _ * + 1 )> 0 \ end {ecuación *} por la convexidad estricta de$f$. Esto contradice (2).$\Box$
Observación: como se ve en lo anterior, condición$c\to\infty$ puede estar relajado para $\liminf(c-a)>0$.
La solución anterior puede parecer algo misteriosa. De hecho, la idea es geométrica bastante simple. Por cualquier real$A,B,C$ como $A\le B\le C$, deja que la "ganancia" $g(A,B;C)$ denotar la distancia entre el punto en la gráfica de la función convexa $f$ con abscisas $C$ y el punto con la misma abscisa en la cuerda que conecta los puntos en la gráfica de $f$ con abscisas $A$ y $B$.
Entonces (vea la imagen a continuación), $D=g(a,b;c)$ y $\tilde d=g(a,c;a+1)$, dónde $\tilde d$es como se define en la pantalla multilínea anterior. En esa pantalla, se mostró que$\tilde d\le\tilde D$, que se ve claramente en la imagen. También si$t$ está limitado lejos de $0$ - es decir, si $c/b$ está limitado lejos de $1$, entonces, como se desprende de la imagen al observar los triángulos similares, tenemos $\tilde D\asymp D\to0$; cf. la última línea de la pantalla multilínea anterior. Esto y la desigualdad$\tilde d\le\tilde D$ implicar $\tilde d\to0$.
Por la convexidad de $f$, para cualquier real fijo $A,C$ como $A\le C$, la ganancia $g(A,B;C)$ no disminuye en $B\in[C,\infty)$(aquí puede que desee hacer otro dibujo). Por tanto y porque$a+2\le c$, tenemos $d=g(a,a+2;a+1)\le g(a,c;a+1)=\tilde d$, así que eso $d\le\tilde d$, que se mostró en las primeras tres líneas de la pantalla multilínea anterior.
Esta es la explicación geométrica de (1) y la pantalla multilínea anterior.
Primero, reformulemos la pregunta. por$0\leq a\leq c\leq b$, dejar $\lambda=\lambda(a,c,b)\in[0,1]$ ser el número tal que $c=\lambda a + (1-\lambda)b$, y para $f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ definir $$ D_f(a,c,b)= \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)-f(c). $$
Lema 1. Sea$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ser estrictamente convexo y continuamente diferenciable. Dejar$0\leq a_n\leq c_n\leq b_n$ ser secuencias tales que $a_n$ está ligado, $c_n-a_n$ está acotado lejos de 0, y $\limsup \lambda(a_n,c_n,b_n)>0$. Luego,$\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)>0$.
Primero aplicamos una secuencia de pasos de reducción que nos permiten asumir wlog que $a_n=0$, $c_n\geq 1$, , para todos $n$y $\liminf\lambda(a_n,c_n,b_n)>0$. Si confía en que eso es posible, puede pasar directamente al Lema 5 a continuación.
Tomando una subsecuencia $n'$ en la que $\liminf \lambda(a_{n'},c_{n'},b_{n'})>0$, El Lema 1 se sigue del Lema 2.
Lema 2. Sea$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ser estrictamente convexo y continuamente diferenciable. Dejar$0\leq a_n\leq c_n\leq b_n$ ser secuencias tales que $a_n$ está ligado, $c_n-a_n$ está acotado lejos de 0, y $\liminf \lambda(a_n,c_n,b_n)>0$. Luego,$\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)>0$.
Tomando además una subsecuencia $n'$ en el que ambos $a_{n'}$ converge, el Lema 2 se sigue del Lema 3.
Lema 3. Sea$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ser estrictamente convexo y continuamente diferenciable. Dejar$0\leq a_n\leq c_n\leq b_n$ ser secuencias tales que $a_n\to a$, $c_n-a_n$ está acotado lejos de 0, y $\liminf \lambda(a_n,c_n,b_n)>0$. Luego,$\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)>0$.
Para cualquier fijo $\epsilon>0$, Las funciones $\lambda(a,c,b)$ es continuo en $a$ uniformemente en $c$ y $b$ sobre el dominio $\epsilon\leq a +\epsilon\leq c\leq b$; por lo tanto, bajo los supuestos del Lema 3,$0<\liminf\lambda(a_n,c_n,b_n)=\liminf\lambda(\lim a_n,c_n,b_n)$. Además, para$\lim a_n <a<\liminf c_n$ lo suficientemente pequeño, tenemos $\liminf\lambda(a,c_n,b_n)>0$. Ya que$D_f(a,c,b)$ está disminuyendo en $a$, $\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)\geq\limsup D_f(a,c_n,b_n)$. Por lo tanto, el Lema 3 se sigue del Lema 4.
Lema 4. Sea$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ser estrictamente convexo y continuamente diferenciable. Dejar$0\leq a\leq c_n\leq b_n$ ser secuencias tales que $c_n-a$ está acotado lejos de 0, y $\liminf \lambda(a,c_n,b_n)>0$. Luego,$\limsup D_f(a,c_n,b_n)>0$.
Dejar $T\colon \mathbb R\to\mathbb R$ ser la transformación afín que mapea $a$ a $0$ y $\inf c_n$ a $1$. Reemplazo$f$ por $F=f\circ T^{-1}$y $a,c_n,b_n$ por $T(a),T(c_n),T(b_n)$ respectivamente, el Lema 4 se sigue del Lema 5.
Lema 5. Sea$F\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ser estrictamente convexo y continuamente diferenciable. Dejar$1\leq c_n\leq b_n$ ser secuencias tales que $\liminf \lambda(0,c_n,b_n)>0$. Luego,$\limsup D_F(0,c_n,b_n)>0$.
Prueba del Lema 5. Suponemos que wlog$F(0)=0$ y denotar $\lambda_n=\lambda(0,c_n,b_n)$ y $D_n=D_F(0,c_n,b_n)$.
Definir una función $G\colon [1,\infty)\times (1,\infty)\to \mathbb R$ por $$ G(x,y)=\tfrac 1 y F(xy)-F(x). $$
Reclamación 6. $G$ es positivo y creciente en ambos $x$ y $y$.
Prueba de reclamación 6. Desde$F$ es estrictamente convexo, $F(0)=0$y $x = 1/y(xy)+(1-1/y)0$, $G(xy)>0$. Ya que$F'$ está aumentando, tenemos $\frac {d}{dx}G(xy)=F'(xy)-F'(x)>0$, entonces $G$ aumenta en $x$. Ya que$F'$ está aumentando y $G(x,y)=1/y\int_0^yF'(xt)x\,dt - F(x)$, $G$ aumenta en $y$, completando la prueba de la Reclamación 6.
Supongamos que hay $\lambda_0>0$ tal que $\lambda_n\geq \lambda_0$ para todos $n$. Luego,$$ D_n = G(c_n,1/(1-\lambda_n))\geq G(1,1/(1-\lambda_0)>0, \quad\text{for all $norte$.} $$ QED