Una pregunta sobre derivadas fraccionarias
No sé prácticamente nada sobre cálculo fraccional, así que me disculpo de antemano si la siguiente es una pregunta tonta. Ya probé en math.stackexchange.
Solo quería preguntar si existe una noción de derivada fraccionaria que sea lineal y satisfaga la siguiente propiedad $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ dónde $\alpha$es un escalar. En el caso de derivados estándar tendríamos$\alpha = n$.
Muchas gracias.
Respuestas
Básicamente, no hay soluciones interesantes para esta ecuación más allá de los operadores de primer orden y cero, incluso si uno solo impone la restricción establecida para $n=2$.
Primero, podemos despolarizar la hipótesis$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ por reemplazo $f$ con $f+g, f-g$ para funciones arbitrarias $f,g$ y restar (y luego dividir por $4$) para obtener la identidad de tipo Leibniz más flexible $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$
Ahora hay tres casos, dependiendo del valor de $\alpha_2$:
- $\alpha_2 \neq 1,2$. Aplicando (2) con$f=g=1$ luego concluimos que $D^u(1)=0$, y luego aplicando (2) nuevamente con solo $g=1$ obtenemos $D^u(f)=0$. Entonces tenemos la solución trivial$D^u=0$ en este caso.
- $\alpha_2=2$. Luego$D^u$es una derivación y por inducción tenemos$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, al igual que con la derivada ordinaria, por lo que solo tenemos $\alpha_n=n$ para todos $n$ sin comportamiento fraccionario.
- $\alpha_2=1$. Aplicando (2) con$g=1$ obtenemos (después de un poco de álgebra) $D^u(f) = mf$ dónde $m := D^u(1)$. Por lo tanto$D^u$ es solo un operador multiplicador, que obedece $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, por lo tanto $\alpha_n=1$ para todos $n$.
Por lo tanto, no hay soluciones lineales para su ecuación que no sean las derivaciones habituales (por ejemplo, $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ para cualquier símbolo suave $a$) y operadores multiplicadores $D^u(f) = mf$, es decir, operadores de primer orden y orden cero.
Por otro lado, derivadas fraccionarias $D^u$ tienden a obedecer una "regla de cadena fraccionaria" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ para varias funciones suaves $F,f$, donde el error $E$obedece a mejores estimaciones en varios espacios de Sobolev que los otros dos términos en esta ecuación. En particular, para$F(t) = t^n$, tendríamos $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ para un término de error "bueno" $E$. Por ejemplo, tomando$u=n=2$ con $D$ la derivada habitual, tenemos $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ con $E$el operador " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Tenga en cuenta que el error $E$ es controlado uniformemente por el $C^1$ norma de $f$pero los otros dos términos en (3) no lo son. Vea mi respuesta anterior de MathOverflow enhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 para algunas referencias y discusión adicional.
Parece que realmente quieres $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, dónde $\alpha$ es un escalar.
No hay ninguna razón para que esto sea cierto y, de hecho, es falso en general. Por ejemplo, para$n=2$y el derivado fraccional de Riemann-Liouville de$f:=\exp$ con $u=1/2$, $a=0$, y $x>0$ tenemos $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ mientras que $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ así que eso $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ es bastante diferente a cualquier constante.
Además, el término $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ en la expresión para $(D^u(f^n))(x)$ aquí versus el término $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ en la expresión para $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ parece que es muy poco probable que cualquier otro tipo de derivada fraccionaria funcione como usted desea.
La fórmula de Leibniz generalizada aplicable a la clásica integroderivada fraccional es
$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$
dónde $D_L$ actúa sobre la función a la izquierda del producto y $D_R$en la función correcta. Véanse, por ejemplo, las reglas de Leibniz y los análogos integrales para derivadas fraccionarias mediante una nueva fórmula de transformación de Fugere, Gaboury y Tremblay.
Esta regla de Leibniz generalizada se aplica al integroderivado fraccional que satisface los axiomas sensibles dados por Pincherle descritos en "El papel de Salvatore Pincherle en el desarrollo del cálculo fraccional" por Francesco Mainardi y Gianni Pagnini - aquellos satisfechos por el derivado habitual elevado a potencias integrales, negativo o positivo. Las repeticiones de esta operación se presentan en este MSE-Q y se pueden usar para definir los fcts hipergeométricos confluentes (ver este MO-Q ) y regulares.
Estas repeticiones de $D^{\omega}$están en el corazón de las definiciones de las funciones gamma y beta de Euler a través de integrales, generalizaciones de los factoriales integrales y coeficientes binomiales integrales (ver mi respuesta a / refs en este MO-Q ), que la mayoría de los investigadores usan con frecuencia en sus esfuerzos matemáticos. -contrariamente a algunas opiniones expresadas en MO. Vea un ejemplo de la semi-derivada en este MO-Q (que muchos usuarios aparentemente confunden con algún operador pseudo-diferencial definido por la transformada de Fourier).