Una pregunta sobre funcionalidades y espacio dual

Question

Tengo una pregunta que me cuesta probar

Si $f_1, f_2 ,..., f_n$ son funcionales linealmente independientes en un $n$-espacio vectorial dimensional $V$ a su campo escalar $F$ siempre existe una base $x_1, x_2,..., x_n$ de V tal que $$f_i(x_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1 \qquad i=j \\ 0 \qquad i \ne j \end{cases}$$

Sé que debería poner mi trabajo aquí pero no sé cómo demostrarlo. Es un problema de examen que tengo en dos días y realmente agradecería un poco de ayuda.

Answer 1

Algunos pasos para llegar al resultado:

• Pruebalo $f_1,\dots,f_n$ es una base para $V^*$, el espacio de todas las funciones lineales de $V$ a $\mathbf F$.
• Para cada $v \in V$ definir $\operatorname{ev}(v) : V^* \to \mathbf F$ por $\operatorname{ev}(v)(\phi) = \phi(v)$y demostrar que $\operatorname{ev}(v) \in V^{**}$, dónde $V^{**}$ es el espacio de todas las funciones lineales de $V^*$ a $\mathbf F$.
• Demuestra que si $v \in V \setminus \{0_V\}$ entonces existe $\phi \in V^*$ tal que $\phi(v) \neq 0$. Concluye esto$\operatorname{ev} : V \to V^{**}$ es inyectiva, y luego, concluir que cualquier $\varphi \in V^{**}$ es $\operatorname{ev}(v_\varphi)$ para algunos $v_\varphi \in V$.
• Si $\varphi_1,\dots,\varphi_n \in V^{**}$ es la base dual para $f_1,\dots,f_n$, luego para cada $i$ Entre $1$ y $n$ dejar $x_i \in V$ tal que $\varphi_i = \operatorname{ev}(x_i)$y demostrar que $x_1,\dots,x_n$ es la base deseada para $V$.

Answer 2

El núcleo de cada $f_i$ tiene dimensión $n-1$. ¿Cuál es la dimensión mínima de$$\bigcap_{i \neq j} \operatorname{ker}(f_i) \text{ ? }$$

Answer 3

$\textbf{Hint:}$ Ya que $f_{1}, \ldots, f_{n}$ son linealmente independientes y $V^{*}$ tiene dimensión $n$, forman una base para $V^{*}$. Ahora deja$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ en $V^{**}$ ser la base dual de $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Para cualquier$v \in V$, podemos considerar la "evaluación en $v$"funcional lineal: \ begin {ecuación *} \ begin {split} \ text {ev} _ {v}: & \ hspace {0.1cm} V ^ {*} \ rightarrow K \\ & \ varphi \ mapsto \ varphi ( v). \ end {split} \ end {ecuación *} El mapa lineal que asocia cada$v \in V$ a $\text{ev}_{v}$ es un isomorfismo entre $V$ y $V^{**}$. En particular,$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ pertenecen a la imagen de este mapa lineal, así que ...

Answer 4

Dejar $y_1,y_2,\cdots,y_n$ ser una base de $X$. Luego$A=[f_i(y_j)]$debe ser invertible. Si este no fuera el caso, entonces existirían escalares$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ que no son todos cero tal que $$ [f_i(y_j)]\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right] = 0. $$ Pero eso implicaría que $\alpha_1 f_1 + \cdots + \alpha_n f_n$ desaparece sobre la base $\{ y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ y, por tanto, debe ser el $0$funcional, que es una contradicción. Entonces porque$A$ es invertible, hay una combinación lineal $F$ del $f_i$ tal que $F(x_j)=\delta_{j,k}$. Y esto es cierto para cada dato$k=1,2,\cdots,n$.