Una pregunta sobre números p-ádicos

Question

estoy tratando de aprender sobre$p$-adic numeros y tengo algunas preguntas. Traté de aprender sobre la motivación de la página de Wikipedia , que era muy clara y con algunos ejemplos sencillos.

Pero tengo problemas para entender lo siguiente:

• Si tomamos un enfoque algebraico para la construcción, primero construimos$\mathbb{Z}_p$y a partir de ella construimos$\mathbb{Q}_p$tomándolo como el campo de las fracciones de$\mathbb{Z}_p$. Lo que no entiendo es el cero en el ring.$\mathbb{Z}_p$. Por ejemplo, si tenemos$p=7$tenemos que (0,7,7,7,7,...) y (0,7,7,7,56,56,56,....) no tienen inversas. ¿Están ambos en cero?$\mathbb{Z}_p$? ¿Es esto lo mismo que 7 y 14 siendo ambos cero en$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$?

• Todos$x\in \mathbb{Q}_p$Se puede escribir como$x=p^{-n}u,$donde$n\in \mathbb{N}, u \in \mathbb{Z}_p^*.$¿Por qué es esto cierto? Entonces entiendo que$x=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}_p,$entonces tenemos$a=p^ku, b=p^mv, m,k\in\mathbb{N}, u,v\in \mathbb{Z}_p.$Pero no sé cómo continuar.

Answer 1

no, no son cero. no tiene un inverso en$\mathbb{Z}_7$pero esto no significa que deba ser cero$\mathbb{Z}_7$es un anillo como$\mathbb{Z}$y tiene muchos elementos distintos de cero, no invertibles.

podemos describir elementos invertibles en$\mathbb{Z}_7$: una secuencia es invertible en$\mathbb{Z}_7$si y solo si su primer componente no es divisible por siete. la razón es que cada elemento de$\mathbb{Z}/7^n$que es coprimo con 7 tiene un único inverso. por lo que puede tomar los componentes inversos y son compatibles entre sí.

por este hecho se puede ver que cada elemento de$\mathbb{Z}_7$se puede escribir en la forma$7^nu$donde u es invertible.ahora su segunda pregunta es este hecho en otro idioma.