Usa el teorema del factor para encontrar todos los ceros del polinomio $2x^3+3x^2+x+6$ con un factor conocido $x+2$

Question

Debo encontrar los factores de $2x^3+3x^2+x+6$ donde me dicen que$x+2$uno de los factores. Usando división sintética para dividir$2x^3+3x^2+x+6$ por $x+2$ Confirmo que no hay resto, por lo que es un cero y el nuevo cociente es $2x^2-x+3$

Así que tengo: $(x+2)(2x^2-x+3)$

Ahora me gustaría factorizar $(2x^2-x+3)$pero lo estoy pasando mal. Dado que mi coeficiente principal no es 1, sé que para factorizar agrupando debo encontrar dos números cuya suma sea -1 y cuyo producto sea 6 (coeficiente principal 2 * término constante 3).

No puedo encontrar ninguno, así que no sé cómo proceder con la factorización. $(2x^2-x+3)$.

Consideré:
-1 y 6: producto = -6, suma 5
1 y -6: producto = -6, suma -5
2 y -3: producto = -6, suma -1 # cierre
-2 y 3: producto = -6, suma 1 # también cierra
-2 y -3: producto = 6, suma 5

¿Cómo puedo factorizar $(2x^2-x+3)$?

Answer 1

$2x^2-x+3=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})$ donde el discriminante es $\Delta=(\frac{-1}{2})^2-4\times 1\times \frac{3}{2}=\frac{1}{4}-6<0$. Por lo tanto$x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ no tiene raíces reales, por lo que es un polinomio irreducible sobre $\mathbb{R}$.