Valor de una integral

Question

Necesito verificar el valor de la siguiente integral $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ El integrando (factor de $4n(n-1)$) incluido) es el pdf de cierta variable aleatoria para $n\geq 3$y por lo tanto espero que sea 1. Si alguien pudiera tener la amabilidad de ponerlo en algún sistema de álgebra computacional como MATHEMATICA, estaría muy agradecido. No tengo acceso a ningún software CAS.

PD: -No conozco ningún software CAS gratuito. Si hay alguien, por favor comparta

Answer 1

La integral se puede reescribir como \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Integrando por partes, obtenemos $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Por lo tanto, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PD : puede utilizar SageMath y WolframAlpha para cálculos simbólicos. Ambos son gratis.

Answer 2

Parece que tu conjetura es cierta. Mathematica da el resultado$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ en términos de la función Beta incompleta, y poner enteros aleatorios $\geq 3$ siempre produce 1 (no he logrado que Mathematica escupe eso como un resultado general para arbitrario $n$).

Answer 3

Puede utilizar CoCalc . Por ejemplo, escriba integral(x^2,x)y obtenga1/3*x^3

También permite parámetros simbólicos.

Entrada:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Salida:

1/3*x^3+n*x