Violación de la ley en cifras

Question

El agente especial Benford se ha visto obstaculizado por un tercer caso sin resolver de contabilidad creativa maliciosa y se retirará voluntariamente del Grupo de Trabajo de Números Fraudulentos. La capacidad de Benford para detectar libros de contabilidad falsificados simplemente contando los primeros dígitos de las entradas numéricas es tan conocida que una ley lleva el nombre de nuestro héroe alicaído.

Ley de Benford : en una hoja de contabilidad honesta, el primer dígito de casi 1⁄3 de todas las entradas numéricas debe ser '1', mucho más a menudo que '2' o cualquier otro número. La cuenta de que cada número es un primer dígito se ajusta a un patrón decreciente donde '9' es el primer dígito de la menor cantidad de números.

Esta metodología le sirvió a Benford a lo largo de décadas de servicio, ya que contables sin escrúpulos en su mayoría hacían malabares con números decimales . Sin embargo, a lo largo de los años, dos casos permanecieron sin resolver porque involucraban otros sistemas de numeración. Todos los números enteros positivos son sospechosos.

1. Caso uno sin resolver. Al reconocer el sistema de numeración más antiguo conocido, Benford sabía que sus primeros dígitos no conducirían a una condena.

2. Caso dos sin resolver. Benford reconoció este sistema de numeración como el empleado por prácticamente todas las computadoras modernas y nuevamente tuvo que admitir que sus primeros dígitos estaban libres de pistas.

Por fin, por desgracia, llegó el caso más reciente.

1. Caso tres sin resolver. Benford nunca antes se había encontrado con este sistema de numeración, pero al ver las entradas se dio cuenta de que también desafiarían "La Ley". Antes de darse por vencido, Benford se enteró de que el mismo sistema de numeración desviado se había visto entre los círculos académicos durante siglos, aunque rara vez, y de hecho ha sido la base de algunas computadoras digitales inteligentemente eficientes.

¿Cuáles son los sistemas de numeración de los casos uno, dos y tres y por qué son tan sin ley?

Desafío de recompensa: ¿En cuál de estos casos puede el reemplazo de Benford, sucesor del agente especial, tener más éxito contando los segundos dígitos de las entradas? ¿Cuáles serían sus frecuencias numéricas esperadas?

_{(No hay juegos de palabras obscenos en marcha).}

Answer 1

Creo que la respuesta es la siguiente.

Caso uno:

Unario , también conocido como aritmética de conteo. Cada número viene dado por un número de símbolos (típicamente marcas de barra vertical similares al número uno), por lo tanto, el primer "dígito" es siempre el mismo. Este es, por supuesto, el método más antiguo de contar.

Caso dos:

Binario . Nuevamente, el primer dígito de cada número es 1, por lo que la ley de Benford no puede ser de ayuda. El binario es la base de la mayoría de las arquitecturas informáticas modernas.

Caso tres:

Ternario equilibrado . En ternario balanceado, los dígitos son 1, 0 y -1, y el primer dígito de cada número positivo es siempre 1. Hay varias razones teóricas por las que el ternario balanceado hace que ciertas operaciones matemáticas sean más eficientes, y aparentemente se usó como base para algunas Computadoras soviéticas en el pasado.

Prima:

Mirar el segundo dígito proporcionará cierto sesgo estadístico en los casos ternarios binarios y equilibrados, pero no en el caso unario. Para el caso binario, utilizando una generalización sencilla de la distribución proporcionada en Wikipedia , la probabilidad de que el segundo dígito sea 0 es$\log_2(3) -\log_2(2)$, que es aproximadamente el 58,5%.

Para ternario equilibrado, la distribución del segundo dígito parece que debería ser similar al ternario, pero es sutilmente diferente. Para lograr esto, vamos a relacionar la distribución ternaria balanceada con la distribución ternaria regular. En la distribución ternaria regular, la probabilidad de que un número comience con$n$ (como una cadena de dígitos) es $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Para facilitar la presentación, podemos ignorar los números con menos de 3 dígitos ternarios balanceados, ya que habrá un número finito de excepciones a las reglas que postulamos debajo que se desvanecen cuando miramos a través de la infinitud de números enteros. Además, usaremos los símbolos$+$, $\cdot$ y $-$ para nuestros dígitos ternarios equilibrados.

Veamos primero el caso donde el segundo dígito es $-$. Convirtiendo a ternario, tenemos$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, y así. Por tanto, el segundo dígito de un número ternario equilibrado es$-$ si y solo si el número ternario correspondiente comienza con $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; o$21$, a excepción de los que comienzan con $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Para obtener la probabilidad de que esto ocurra, sumamos todas las probabilidades asociadas de la distribución de Benford en los rangos ternarios normales. Usando la Calculadora de Magma , obtenemos la probabilidad aproximada del 46,5%.

Ahora considere el caso donde el segundo dígito es $\cdot$. Como antes, para números ternarios balanceados que cumplen esta condición, los números ternarios equivalentes satisfacen$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, etc. Como antes, un número ternario balanceado tiene un segundo dígito $\cdot$ cuando el número ternario correspondiente comienza con $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; o$10$, a excepción de los que comienzan con $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Esto produce una probabilidad de alrededor del 30,63%.

Para el segundo dígito $+$, podríamos simplemente sumar los resultados anteriores y restar de 1, pero como verificación, calculémoslo de la misma manera. Como arriba, tenemos$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Por tanto, el segundo dígito ternario equilibrado es$+$ cuando el número ternario correspondiente comienza con $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; o$11$, excepto los que comienzan con $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Como se indicó anteriormente, esta probabilidad asciende al 22,87%.

En aras de la comparación, las probabilidades de los segundos dígitos en ternario normal son 40,22%, 32,47% y 27,32% para $0$, $1$ y $2$, respectivamente.