$X$ está conectado localmente y contablemente compacto

Question

Dejar $(X,\tau)$ ser un espacio topológico $T_3$. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Cada cobertura abierta y finita de X tiene un refinamiento finito que consiste en conjuntos conectados.

1. Space X está conectado localmente y es sumamente compacto.

Un espacio topológico se llama contablemente compacto si cada cobertura abierta y enumerable admite una subcobertura finita.

Algunas ideas:

$1 \to 2$ Para probar eso $X$ está conectado localmente, pensé en lo siguiente, por hipótesis $A=\{X\}$ tiene un refinamiento finito que consiste en conjuntos conectados, digamos $B=\{B_i:B_i \text{ is connected and } i \in \{1,...,n\}\}$. Dejar$x \in X$ y $U$ abierto de $X$, tal que $x \in U \subset X$, ya que $X=\cup B_i$, $x \in B_k$ dónde $k \in \{1,...,n\}$, Si $B_k \subset U$ y $B_k$ Esta abierto, $X$ está conectado localmente en $x$, Si lo anterior no sucede, no sé cómo proceder.

demostrar que es contablemente compacto no se me ocurre cómo.

$2 \to 1$ dejar $U=\{U_i:i \in \{1,2,...,n\}\}$ ser una cobertura finita de $X$. Ya que$X$ está conectado localmente, para cada $x \in U_i$ hay un abierto conectado $V_{ix}$ tal que $V_{ix} \subset U_i$. Así,$U_i=\cup _{x \in U_i} V_{ix}$. Mi idea aquí fue utilizar la hipótesis de que$X$ es contablemente compacto y se lo aplica a cada $U_i$, pero no estoy seguro de este hecho, porque no sé si hay una cantidad contable de $V_{ix}$ que cubre $U_i$.

No sé cómo utilizar la hipótesis de que $X$ es $T_3$.

cualquier ayuda sería muy útil. Gracias

Answer 1

Su pregunta es sobre la equivalencia de las condiciones (a) y (c) del Teorema 3.1 de [HI].

Referencias

[HI] Henriksen, M., Isbell, JR Conectividad local en la compactación Stone-Čech , Illinois J. Math. 1 : 4 (1957), 574–582.