Afficher l'ensemble de solution à la contrainte est compact

Question

Ceci est la question:

Montrez que la fonction $f(x,y) = x^4 + y^4$ prend les valeurs maximales et minimales le long de la courbe $x^4+y^4-3xy = 2$.

Une solution de mon professeur:

Puisque $f$est continue, il suffit de montrer que l'ensemble des solutions à la contrainte est un ensemble compact. Cela peut être fait en examinant la limite$\lim_{x^2+y^2\to\infty} g(x,y)$ où $g(x,y) = x^4+y^4-3xy - 2$. Calculs montre

$$ \lim_{x^2+y^2\to\infty} g(x,y) = +\infty$$

ce qui, je suppose, signifie qu'il doit y avoir un ensemble de solutions avec une borne supérieure (puisque nous voulons $g(x,y) = 0$). Cependant, c'est là que je me perds. J'ai l'impression que ce n'est pas suffisant.

Je veux dire qu'il ne pourrait y avoir aucune solution (mais ce n'est pas le cas pour cela) mais ma principale question est: comment savez-vous que l'ensemble est fermé? Que signifie même un «ensemble fermé de solutions»?

Est-il correct de supposer qu'il existe (on peut choisir) un ensemble compact$D$ de solutions telles que chaque point sur $g$ à l'extérieur $D$ et sur $\partial D$ implique que $|g(x,y| > 0$?

Answer 1

Vous soulevez des points valables. Tout d'abord, notez que comme$g$ est continue et $\{0\}$ est un ensemble fermé, il s'ensuit que $g^{-1}(\{0\})$est fermé. De plus, il n'est pas vide car par exemple le point$(2^{1/4},0)$ réside dans $g^{-1}(\{0\})$. Maintenant, je suppose que vous avez montré que$$\lim_{x^2+y^2\to\infty} g(x,y) = +\infty.$$ Par définition de la limite ci-dessus, cela signifie qu'il y a un $R > 0$ tel que $g(x,y) > 1$ n'importe quand $x^2+y^2 > R$. En particulier, tout point$(x,y) \in g^{-1}({0})$ doit donc satisfaire $x^2+y^2 \leq R$ et donc $g^{-1}(\{0\})$est délimité. Nous concluons que$g^{-1}(\{0\})$ est un sous-ensemble fermé et borné de $\mathbb{R}^2$et donc compact. La revendication suit alors par la continuité de$f$.