Aide concernant la notation utilisée dans certaines expressions pour le pdf
La fonction de densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire est donnée par $$ \begin{aligned}g(t)&=4 n(n-1)\\&\int_0^1 x(x+t)1(x+t<1)[(x+t)^2\,1(x+t<1)+1(x+t\ge1)-x^2]^{n-2}\, dx\,1(t>0).\end{aligned}$$Je me demande si cette intégrale peut être écrite de manière simple (disons, au cas par cas en divisant en deux intégrales ou plus). J'ai mis cette intégrale dans Wolfram alpha mais cela signifie que Wolfram ne sait pas comment interpréter le résultat. Je n'ai aucune idée de la notation utilisée dans l'expression. Veuillez expliquer ce que signifie cette notation et comment je peux écrire l'intégrale sans elle.
Réponses
La première "$1$"dans la notation"$1(x+t\lt 1)$"est un raccourci bâclé mais suggestif et assez courant pour la fonction d'indicateur $\mathscr{I}.$ (Habituellement, le "$1$"serait en caractères gras,"$\mathbf{1},$"pour le distinguer de la constante $1.$ Comme vous pouvez le voir, même ici sur CV, la distinction est si subtile qu'elle est facilement négligée.)
Par définition, quand$x+t \lt 1,$ $\mathscr{I}(x+t \lt 1) = 1$ et $\mathscr{I}(x+t \ge 1) = 0.$ Sinon, quand $x+t \ge 1,$ $\mathscr{I}(x+t \lt 1) = 0$ et $\mathscr{I}(x+t \ge 1) = 1.$
Voici la seule analyse dont nous avons besoin: quand$t\ge 1,$ $\mathscr{I}(x+t\lt 1) = 0$ pour $0\le x\le 1,$ réduire l'intégrale à $0.$ Autrement, $0 \le t \lt 1,$ impliquant $\mathscr{I}(t\gt 0)=1.$
Casser l'intégrale à la valeur de $x$ où $x+t=1$ (à savoir, $x=1-t$). L'intégrale supérieure (pour$1-t\le x \le 1)$ est nul parce que $\mathscr{I}(x+t\lt1)=0$ là, partant
$$\begin{aligned} &\int_0^1 x(x+t)\mathscr{I}(x+t\lt1)[(x+t)^2\,\mathscr{I}(x+t\lt1)+\mathscr{I}(x+t\ge1)-x^2]^{n-2}\,\mathrm{d}x\,\mathscr{I}(t\gt 0)\\ &=\int_0^{1-t} x(x+t)\left[(x+t)^2-x^2\right]^{n-2}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}$$
Au fait, la substitution $u = x+t/2$ convertit cela en l'intégrale
$$(2t)^{n-2}\int_{t/2}^{1-t/2} \left(u^2-\frac{t^2}{4}\right)u^{n-2}\,\mathrm{d}u$$
qui a une solution élémentaire facile.
En général, lorsque l'indicateur fonctionne $\mathscr{I}$apparaissent dans un intégrande, ils vous invitent à décomposer l'intégrale en somme des intégrales sur les régions où les fonctions sont constamment égales$0$ ou $1.$Sur une telle région, les diverses fonctions d'indicateur peuvent être remplacées par leurs valeurs constantes, qui simplifient généralement les intégrandes, réduisant l'évaluation à celle de diverses intégrales plus simples. La principale complication vient de l'identification de ces régions. Dans le cas présent, ils ont été formés par les trois indicateurs
$$\mathscr{I}(x+t\lt 1),\ \mathscr{I}(x+t\ge 1),\text{ and } \mathscr{I}(t\gt 0).$$
Donné $t\ge 0,$ ceux-ci ne déterminent que deux régions d'intégration, $x\in (-\infty, 1-t)$ et $x\in [1-t,\infty)$ qui doit être recoupé avec le domaine d'intégration $x\in[0,1].$
Je ne suis pas sûr que ce soit la source de votre confusion, mais la notation dans le dernier bit, c'est-à-dire, $1(t>0)$est une fonction indicatrice qui prend la valeur 1 lorsque t est supérieur à 0 et prend la valeur 0 sinon. Cela implique seulement que$g(t) = 0$ si $ t \leq 0$.