Algorithme pour tester une séquence de convergence

Question

J'ai ce problème d'examen qui déclare ce qui suit:

Une séquence de nombres réels ${\{x_n\}_{n=1}^\infty}$ est donné avec $x_1=1$, $x_{n+1}=\sqrt{20+x_n}$, $n \geq 1$. Testez la convergence de cette séquence et, si elle est convergente, évaluez sa limite.

Donc, après avoir évalué quelques valeurs de $x_n$, J'ai réalisé que la séquence augmente et qu'elle est bornée par le haut avec $5$. Ce qui implique que la séquence converge (par le théorème de convergence monotone).

Ma question est, quelle serait la manière algorithmique de résoudre ce problème et de le prouver correctement? Comment la limite doit-elle être évaluée ultérieurement dans ce cas?

Aussi, dirions-nous pour une telle séquence déclarée qu'elle est donnée récursivement?

Answer 1

Reprenant là où vous vous étiez arrêté dans le commentaire: Supposons que x_n (défini ci-dessus) augmente de manière monotone.

La casse supérieure est facile à montrer! $$x_1=1<21$$ Supposer $x_k < 21$ pour certains $k \in \mathbb{N}$. ensuite$x_{k+1} = \sqrt{20 + x_{k}} \leq \sqrt{41} \lt 21$, d'où nous avons montré $x_n \lt 21$ pour tous $n \in \mathbb{N}.$

Par le théorème de convergence monotone, il y a une limite. Trouvez-le maintenant:

Souviens-toi que $\lim s_{n+1} = \lim s_{n}$.

ensuite $\lim x_{n+1} = \lim x_n$ satisfait $ x = \sqrt{20 + x}$ pour un grand résultat de $x=5$. ($x$ voici la limite du $x_n$ séquence)

Dans l'ensemble, le processus consiste ici à montrer l'augmentation monotone de la séquence, à utiliser l'induction pour montrer une borne supérieure avec une substitution constante, puis à utiliser une astuce d'algèbre récursive pour comprendre la forme réelle de la limite.

J'espère que cela prend en charge votre préparation à l'examen.