Calculer le déterminant d'une matrice continue avec des éléments variables?
L'un des problèmes du Traité de Muir sur les déterminants dans l'ensemble d'exercices XXX demande d'évaluer le déterminant d'une matrice continue$$ f_n(x,y)=\left|\begin{array}{cccc} x & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ y-1 & x & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & y-2 & x & 3 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & y-n+2 & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & y-n+1 & x \end{array} \right|_n. $$ Aucune réponse ou aucun indice n'est donné.
J'ai pu transformer ce déterminant en \ begin {équation *} (-1) ^ {n-1} \ left | \ begin {array} {cccccc} \ ldots & ny & yn & ny & yn & n + x-1 \\ \ ldots & yn & ny & yn & n + x-3 & n-1 \\ \ ldots & ny & yn & n + x-5 & n-2 & 0 \\ \ ldots & yn & n + x-7 & n-3 & 0 & 0 \\ \ ldots & n + x-9 & n-4 & 0 & 0 & 0 \\ & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ \ end {array} \ right | _n. \ end {équation *} par une série de longs calculs. Bien sûr, à partir de là, je peux calculer le déterminant quand$y=n$, auquel cas il devient diagonal. Mais je ne sais pas si c'est la bonne façon de procéder si$y\neq n$et n'ont aucune idée de ce qu'il faut faire ensuite. Est-ce que quelqu'un a des idées?
J'ai également établi la relation de récurrence suivante (à ne pas confondre avec la récurrence standard pour un déterminant d'un continuant): $$ f_n(x,y)=(x+n-1)f_{n-1}(x-1,y-1)+(1-n)(y-n)f_{n-2}(x-1,y-1). $$ Encore une fois, on peut voir que cela peut être facilement résolu lorsque $y=n$. Mais que faire quand$y\neq n$ n'est pas clair.
EDIT: Il s'avère que lorsqu'il est traité comme un polynôme dans$x$, le système de fonctions $f_n(x,y)$forment un système polynomial orthogonal. J'ai trouvé ça alors$f_n(x,y)$ est lié aux polynômes de Meixner (du livre de Chihara sur les polynômes orthogonaux)
avec $f=d=0$ et $g$ et $h$convenablement choisi. Mais le livre de Muir a été écrit au 19ème siècle, bien avant que les polynômes de Meixner aient été découverts par Meixner en 1934. Donc, ce problème dans le livre de Muir est vraiment déroutant.
Addenda. Le problème exactement à quoi il ressemble dans l'édition 1960 du livre:
C'est équivalent à la formulation que j'ai donnée ci-dessus après une simple transformation d'équivalence et un changement de notation.
Réponses
Grâce à un commentaire de Jean-Claude Arbaut j'ai enfin obtenu la réponse de la page 559 du livre de Muir (après correction de quelques fautes de frappe)$$ f_n(x,y)=\sum _{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} \left(\frac{x+y-1}{2}\right)^{(k)} \left(\frac{-x+y-1}{2}\right)^{(n-k)}, $$ où $(a)^{(n)}=a(a-1)\ldots (a-n+1)$ désigne le factoriel décroissant.
Un soupçon:
Désignons le déterminant par $D_n$, et développez-le le long de la dernière ligne, donne \begin{align*} D_n & = (-1)^{n + n - 1}(y - n + 1)[xD_{n - 2} - (n - 1)0] + (-1)^{2n}D_{n - 1} \\ & = -(y - n + 1)xD_{n - 2} + D_{n - 1}, \end{align*} avec $D_1 = x, D_2 = x^2 - (y - 1)$.
Résolvez maintenant cette récursivité en utilisant, par exemple, l'outil de série de puissance.