Calculs avec des nombres complexes

Question

J'ai donc rencontré cette question aujourd'hui dans mon livre de mathématiques, et je ne sais pas comment obtenir la bonne réponse même si cela semble vraiment facile, je veux juste savoir comment le faire pour pouvoir dormir un peu.

Ceci est la question:

Quand le nombre complexe $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ montre CA $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

Je n'ai pas fait grand-chose pour cette question à part cela en utilisant le nombre complexe réel: $$\frac{z^2-1}{z}$$

Quelqu'un peut-il me montrer comment faire pour prouver cette question, toute aide est appréciée.

Answer 1

L'identité n'est pas vraie, en effet nous avons ça

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

l'identité n'est vraie que pour $\left(r-\frac1r\right)=0$ et $\left(r+\frac1r\right)=2r$ C'est $r=1$ ou $z=e^{i\theta}$.

Answer 2

Qu'est-ce qui est égal à $\:2ir\sin\theta\:$ est $\:z -\color{red}{\bar z}$.

Maintenant $\bar z=\dfrac 1 z\:$ si et seulement si $z$ a un module $1$.