Complément orthogonal à la fonction continue

Question

Question: Supposons$C[−1, 1]$ est l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur l'intervalle $[−1, 1]$ avec produit intérieur donné par $\langle f, g\rangle = \int_{a}^b f(x)g(x)dx$

Laisser $U = {f ∈ C[−1, 1] : f(0) = 0}$ être le sous-espace de $C[−1, 1]$. Laquelle des affirmations suivantes est (sont) correcte (s)? Justifiez votre réponse.

(une) $C[−1, 1] = U ⊕ U^\bot$

(b) $U^\bot = \{0\}$

(c) $U^\bot$ est un sous-espace propre et non trivial de $C[−1, 1]$

Difficulté: je suis sûr que l'option (b) est correcte mais je ne peux pas en rédiger la preuve. L'option (a) est également valable pour le sous-espace de dimension finie, mais je n'ai pas raison à ce sujet.

Answer 1

Indice: si $g \in U^{\perp}$ puis $\int fg=0$ pour tous $f \in U$. Laisser$f_n(x)=g(x)$ pour $|x| >\frac1 n$, $f_n(0)=0$ et $f_n$ avoir un graphique linéaire dans $[-\frac 1 n ,0]$ aussi bien que $[0, \frac 1 n]$. ensuite$\int g f_n=0$ et laisser $n \to \infty$ rendements $\int g^{2}=0$. Par conséquent$g=0$. Cela s'est avéré b).

Il est évident d'après (b) que (a) est faux. La fonction constante$1$est en LHS mais pas en RHS. (c) est également répondu par (b).