Converse du théorème de Schreier

Question

Je sais que chaque sous-groupe d'un groupe libre est libre (théorème de Schreier).

Je me demande qu'une réciproque (non triviale) est vraie, c'est-à-dire si chaque sous-groupe propre d'un groupe infini$G$ est gratuit, alors $G$ est libre.

Je pense que c'est faux mais je ne trouve pas de contre-exemples.

(Je m'attends à ce qu'un produit semi-direct approprié du rang de groupe libre $n$ ($n \geq 2$) et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est un contre-exemple mais je ne trouve pas encore.)

Tout commentaire serait grandement apprécié.

Answer 1

Comme le dit @YCor dans les commentaires, il existe un exemple de génération finie dû à Ol'shanskii, qui est essentiellement une sorte de monstre Tarski. Cependant, la construction d'Ol'shanskii est très compliquée. Pour les classes de groupes «plus agréables», votre question reste à la fois importante et ouverte. Comme avec la plupart des autres types de monstres Tarski, je crois que la réponse à la question suivante reste inconnue (bien que la réponse soit sûrement "oui").

Existe-t-il un groupe à présentation finie non libre pour lequel chaque sous-groupe propre est libre?

En effet, la question reste ouverte même dans de très belles classes de groupes.

Existe-t-il un groupe hyperbolique de mots non libre dans lequel chaque sous-groupe propre est libre?

Un exemple serait une énorme nouvelle, car il résoudrait par la négative DEUX questions ouvertes célèbres, à savoir:

Est-ce que chaque groupe mot-hyperbolique est résiduellement fini?

et

Chaque groupe hyperbolique non virtuellement libre a-t-il un sous-groupe de surface?

Puisque deux grandes questions en une seule fois semblent trop espérer, je préfère me spécialiser dans le cas des sous-groupes d'indice infini.

Existe-t-il un groupe mot-hyperbolique non libre, non surfacique, infini dans lequel tout sous-groupe propre et fini d'indice infini est libre?

Pour cette dernière question, il existe des exemples hors du monde de groupes hyperboliques. Les groupes solubles Baumslag – Solitar

$BS(1,n)=\mathbb{Z}[1/n]\rtimes_n\mathbb{Z}$

ont la propriété que tout sous-groupe fini non trivial d'indice infini est cyclique infini.