Définition d'un factoriel

Question

Maintenant, j'ai toujours été plutôt intrigué par la factorielle, au début, au lycée, les enseignants m'ont dit que les factorielles ne sont définies que pour des nombres entiers. En étudiant, j'ai trouvé des factorielles pour les réels positifs et les fractions négatives. Mais l'intégrale avec laquelle nous définissons factorielle tombe à plat sur les entiers négatifs.

pourquoi est-ce que nous pouvons trouver la factorielle de (-1/2) et racine (3) mais pas pour -1 ou -2? Cela va-t-il à l'encontre de la définition d'une factorielle? Si oui, quelle est la définition d'une factorielle parce que les enfants ne l'apprennent jamais et cela obscurcit leur raisonnement et leur perception du sujet.

Answer 1

Les enfants apprennent uniquement la factorielle des naturels parce que la définition est élémentaire (bien que $0!=1$ mérite des commentaires spéciaux).

Lorsque vous voulez l'étendre aux réels, une manière naturelle est avec l'intégrale

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$ comme il vérifie la récurrence

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=-\left. x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx=nI_{n-1}$$ et $I_n=n!$.

Comme l'intégrale garde un sens avec $n$ réel positif, ceci est pris pour l'extension.

Maintenant pour les négatifs, il est logique de conserver la récurrence

$$(n-1)!=\frac{n!}n,$$ résultant en des valeurs infinies pour les entiers négatifs.

Answer 2

La définition récursive de la factorielle $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$ peut être réorganisé pour en déduire $$n! = \dfrac{(n+1)!}{n+1}$$

C'est une façon de comprendre que $0!=1$, prenant $n=0$Au dessus. Cependant, si nous essayons de faire cela pour$(-1)!$, nous avons un problème: $$(-1)! = \dfrac{(-1+1)!}{-1+1} = \dfrac{0!}{0} = \dfrac{1}{0}$$

Mais on ne peut pas diviser par $0$, donc on ne peut pas définir $(-1)!$.

Comme indiqué dans les commentaires, la fonction gamma $\Gamma$ est la "bonne" façon d'étendre la factorielle aux non-entiers. $\Gamma$ diverge aux nombres entiers négatifs, car il est nécessaire de satisfaire $\Gamma(n+1) = \Gamma(n) \cdot (n+1)$, donc le même argument que ci-dessus s'applique.