Dérivée d'intégrale avec limites

Question

J'ai le problème suivant:

Laisser $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. Trouver$(f^{-1})'(0)$.

Je sais que si $g' = f^{-1}(x)$ cette $g'(f(x))f'(x) = 1$. Evidemment quand$x$ est $3$, $f(x)$ est $0$. Alors j'ai calculé que:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Ma question est: depuis $f(x)$ était à l'origine une intégrale évaluée à partir de $3$ à $x$, ne devrait pas $x$ être $3$à travers l'équation, rendant inutile la tentative d'en prendre le dérivé? Cela aurait-il pour effet que la solution ne soit "pas définie" puisque vous ne pouvez pas diviser$(1)$par zéro? Ou le dérivé annule-t-il effectivement les limites?

Answer 1

Par le théorème fondamental du calcul , vous avez$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

Rappelez-vous également que $x=f(f^{-1}(x))$, donc différencier les deux côtés de l'équation et utiliser la règle de la chaîne que nous avons $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

donc $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

puis depuis $f(3)=0$ nous avons $f^{-1}(0)=3$ (comme vous l'avez mentionné) et donc

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Toute ma réponse ici va être basée sur le fait que vous avez supposé $x \geq 3$. Si je me trompe, votre doute devrait plutôt être lié au sens des limites de l'intégration.

Je veux que vous rappeliez le principe fondamental des dérivés.

Le premier principe de différenciation.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Ici, nous obtenons la valeur dérivée en exécutant $h$ dans le voisinage positif et négatif de $0$.
D'où un changement infinitésimal$f(x)$ dans le quartier de $x$ sur un changement infinitésimal de $x$.

Mais lorsque l'un ou l'autre des quartiers n'est pas présent dans le domaine proche $x$ nous seulement dans une direction, à la place.

Par exemple $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ etc...

Vous obtenez l'image je suppose. Maintenant, vous remettez en question le sens de ce dérivé. C'est quand quelle sera la pente (taux de changement) de la courbe / fonction quand elle ira dans la seule direction autorisée.

De même, ici la fonction en question a une telle propriété.

Une solution plus précise pour ces dérivés par le premier principe peut être donnée comme suit: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Pour cette fonction particulière, la signification de dérivée à $x=3$ doit être: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

L'équation ci-dessus dit que $x$ ne variera que dans le voisinage positif de $3$.