Des objets distincts dans des cases distinctes: deux déclarations différentes?

Question

J'ai un petit doute dans ces deux affirmations pour le même problème suivant: Nombre de modes de distribution $n$différents objets dans k bacs différents. Je passais par A Walk through Combinatorics et d'après cela:

Si nous devons mettre n balles différentes dans k cases différentes, le nombre de façons de le faire est $k!S(n,k)$, où $S(n,k)$ est le numéro de Stirling du deuxième type.

L'explication va comme ceci: -

d'abord on peut partitionner $[n]$ dans $k$ parties non distinguables dans $S(n, k)$ façons, alors nous pouvons étiqueter le $k$ pièces avec étiquettes $1,2, \cdots, k$ dans $k!$ différentes façons.

Et puis cette déclaration

Supposons qu'il y ait $n$ objets distincts qui doivent être répartis entre $r$bacs distincts. Cela peut être fait précisément$r^n$ façons.

Veuillez me pardonner si la question est stupide, mais je suis dans la confusion.

Answer 1

Le numéro de Stirling du second type $S(n, k)$ compte le nombre de modes de distribution $n$ objets distincts à $k$boîtes indiscernables lorsqu'aucune boîte n'est laissée vide . Par conséquent, la formule$k!S(n, k)$ compte le nombre de façons de distribuer $n$ objets distincts à $k$ boîtes distinctes lorsqu'aucune boîte n'est laissée vide.

D'autre part, $r^n$ compte le nombre de façons de placer $n$ objets distincts dans $r$ bacs distincts sans restriction, ce qui signifie que certaines des boîtes peuvent être laissées vides.

Answer 2

L'instruction "Différent à différent" équivaut au nombre de fonctions $f:A\to B$ avec $|A|=n$ et $|B|=k$. Ensuite, cela dépend si vous autorisez les répétitions (des bacs dans ce cas) ou non et si vous autorisez certains éléments dans$B$ ne doit être attribué à aucun élément dans $A$.

Dans ce cas précis, vous recherchez le nombre total de fonctions parmi ces ensembles, car je suppose que vous êtes autorisé à répéter les bacs et à en laisser certains vides: ce nombre est $k^n$.

Pourquoi?

Parce que prendre chaque élément dans le domaine, il y a $k$possibilités pour qu'il aille sur un élément de l'image. Mêmes choses avec les autres. Bien sûr, vous devez les multiplier ensemble et vous obtenez ainsi la réponse.