Distribuer 3 objets dans 5 boîtes
De combien de manières 3 objets peuvent-ils être répartis dans 5 boîtes de sorte qu'aucun objet 2 n'aille dans la même boîte.
Mon raisonnement est le suivant:
Puisque 2 objets ne peuvent pas être dans la même boîte, chaque boîte possède un objet unique, donc seulement 3 boîtes peuvent être acquises à la fois. Organiser 5 boîtes avec 3 à la fois équivaut à 5.4.3 = 60 façons.
Mais remarquez, pour chacune de ces 60 façons, les 3 objets peuvent être disposés en 3! Façons.
Ainsi, le total des voies = 60,3!
Mais le livre fait valoir ce qui suit:
Puisqu'il y a une correspondance 1-1 entre les distributions de 3 objets dans 5 boîtes avec la condition énoncée. Ainsi, le nombre requis de telles distributions est p (5,3) = 60 voies
Quelles sont les lacunes de mon raisonnement. Qu'est-ce que je rate?
Réponses
Imaginez qu'il y ait juste $3$ boîtes et $3$ boules, chacune étiquetée, les cases A, B, C et les boules 1,2,3.
De combien de façons pouvons-nous organiser ces objets avec une balle dans chaque boîte?
C'est juste $6$. Vous avez affirmé que la réponse est$36$, car nous pouvons réorganiser les boîtes $3!=6$ façons et aussi nous pouvons réarranger les balles dans $3!=6$ pour un total $36$ différents arrangements.
Mais ils ne sont pas tous différents. Si nous avons des boîtes BCA et des balles 123, c'est la même chose que ABC 312 ou CBA 213.
Nous réparons donc l'un des objets, disons les boîtes, comme ABC, et y plaçons les boules, et nous pouvons le faire $6$ façons ($123,132,213,231,312,321$).
Alors on choisit $3$ boîtes de $5$, et il y a $\binom53=10$moyens de le faire. Corrigez le jeu de boîtes particulier, et il y a$6$moyens de placer les boules, et en utilisant le principe de multiplication , il y a$10\cdot6=60$ moyens au total.
Pour le premier objet, il y a 5 boîtes différentes et pour le second il y a 4 boîtes différentes et pour le troisième 3 boîtes différentes (pas deux d'entre elles dans la même boîte)
Par le principe de multiplication $5\times4\times3=60$
Ou
$P(5;3)=60$