Échange $L^p$ norme et intégrale

Question

Est-il vrai que $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ où $T\leq{\infty}$?

Je peux prouver une inégalité similaire dans l'ase $T<\infty$, en utilisant l'inégalité de Holder et le théorème de Fubini pour obtenir $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

mais je ne vois pas comment atteindre l'inégalité finale à partir d'ici, et je ne vois pas que cela serait vrai pour le cas $T=\infty$.

Answer 1

Une manière élégante de prouver l'inégalité $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ pour les fonctions avec des valeurs dans un espace Banach $(X,\|\cdot\|)$ est la formule standard $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(qui est une conséquence de Hahn-Banach). Pour$\phi\in X^*$ avec $\|\phi\|^*\le 1$ vous obtenez $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ où la dernière inégalité utilise juste la monotonie de l'intégrale.