Ensemble borné et fonction continue

Question

Laisser $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ continue dans $\mathbb{R}^n$. Je veux prouver que si$X \subset \mathbb{R}^n$ est un ensemble borné, alors $f(X) \subset \mathbb{R}^m$ est également délimitée.

je le sais $\overline{X}$, la fermeture de X, serait compacte, puis $f(\overline{X})$devrait être compact aussi. Alors$f(X) \subset f(\overline{X})$ doit être clairement délimité.

Mais je dois prouver cette proposition sans utiliser aucune compacité .

Des pistes?

Answer 1

Supposer que $f$est illimité. Ensuite, pour chaque$^k\in\Bbb N$, il y en a $p_k\in X$ tel que $\|f(p_k)\|\geqslant k$.

Maintenant, écrivons $p_k$ comme $(a_{1k},a_{2k},\ldots,a_{nk})$. Depuis$X$ est borné, la séquence $(a_{1k})_{k\in\Bbb N}$ a une sous-séquence convergente $(a_{1k_j})_{j\in\Bbb N}$; laisser$a_1$être sa limite. La séquence$(a_{2k_j})_{j\in\Bbb N}$est également borné; donc, il a une sous-séquence convergente$(a_{2l_j})_{j\in\Bbb N}$; laisser$a_2$être sa limite. Et tu as toujours$\lim_{j\to\infty}a_{1l_j}=a_1$.

Après avoir fait cela $n$ fois, vous obtenez une sous-séquence $(p_{r_k})_{k\in\Bbb N}$ qui converge vers $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$. Mais alors, depuis$f$ est continue, $\lim_{k\to\infty}f(p_{r_k})=f(a)$. C'est impossible, car$\|f(p_{r_k})\|\geqslant r_k\geqslant k$ pour chaque naturel $k$ et donc $\lim_{k\to\infty}\|f(p_{r_k})\|=\infty$.

Answer 2

Laisser $x \in \mathbb{R}^n$ et $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}^n$, suppose $f$ est illimité, donc vous avez une séquence $x_n$ dans $X$ pour lequel la limite de $f(x_n)$ comme n va à l'infini est $\infty$. Puisque f est continu partout, il s'ensuit que la fermeture de X doit être illimitée. Cependant, il est facile de montrer que la fermeture d'un ensemble borné est bornée$\mathbb{R}^n$