Est le champ $\mathbb{Q}(\pi)$ élémentairement équivalent à $\mathbb{Q}$?

Question

En théorie des modèles, nous disons que deux structures sont élémentairement équivalentes si elles satisfont les mêmes phrases du premier ordre. Par exemple, dans la langue$\mathcal{L}=\{+,\cdot\}$, les champs $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ et $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot)$ ne sont pas élémentairement équivalents car les $\mathcal{L}$-phrase

$$\sigma: \exists y\,\exists z\,\forall x\,(x\cdot z=x \wedge y\cdot y=z+z.)$$

tient dans le deuxième champ, mais pas dans le premier. (Fondamentalement, la phrase indique qu '"il y a un élément dont le carré est égal à$1+1$")

Cependant, existe-t-il un moyen simple de montrer que $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ et $(\mathbb{Q}(\pi),+,\cdot)$ sont (ou ne sont pas) élémentairement équivalents?

Answer 1

Pour chaque nombre rationnel $x$, Soit $x$ ou $-x$ est une somme de quatre carrés dans $\mathbb{Q}$. Mais ni$\pi$ ni $-\pi$ est une somme de quatre carrés dans $\mathbb{Q}(\pi)$. Un moyen rapide de voir cela est qu'il existe un automorphisme de$\mathbb{Q}(\pi)$ échange $\pi$ et $-\pi$, alors $\mathbb{Q}(\pi)$ admet un ordre dans lequel $-\pi<0$ et un autre dans lequel $\pi<0$, mais dans un champ ordonné, toute somme de carrés est $\geq 0$.