Exemples de conducteurs en T?

Question

J'ai du mal à comprendre le concept de conducteur en T en algèbre linéaire. Je connais la définition, mais quelques exemples seraient utiles.

Définition. Laisser$W$ être un sous-espace invariant pour $T$ et laissez $\alpha$ être un vecteur dans $V$. le$T$-conducteur de $\alpha$ dans $W$ est l'ensemble $S_T(\alpha;W)$, qui se compose de tous les polynômes $g$ (sur le champ scalaire) de telle sorte que $g(T)\alpha$ est dans $W$. (p.201, section 6.4)

J'ai besoin de quelques exemples de T-conducteur

Merci d'avance

Answer 1

Voici un exemple. Laisser$T:\Bbb C^4 \to \Bbb C^4$ être la transformation associée à la matrice Jordan-form $$ \pmatrix{\mu&1&0&0\\0&\mu&0&0\\ 0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda}. $$ Laisser $W$ désignent le sous-espace couvert par le vecteur $e_1 = (1,0,0,0)$. Laisser$e_1,\dots,e_4$ désignent la base standard de $\Bbb C^n$. Nous décrivons maintenant$S_T(\alpha;W)$ pour plusieurs vecteurs différents $\alpha$:

• Pour $\alpha = e_2$, $S_T(\alpha;W)$ est l'ensemble des polynômes divisibles par $p(t) = (t-\mu)$
• Pour $\alpha = e_3$, $S_T(\alpha;W)$ est l'ensemble des polynômes divisibles par $p(t) = (t-\lambda)(t-\mu)$
• Pour toute $\alpha$ en dehors de la durée de $\{e_1,e_2,e_3\}$, $S_T(\alpha;W)$ est l'ensemble des polynômes divisibles par $(t-\mu)(t-\lambda)^2$.
• Pour toute $\alpha \in W$, $S_T(\alpha;W)$est l'ensemble de tous les polynômes
• Pour toute $v \in \Bbb C^4$ et $\alpha = e_1 + v$, $S_T(\alpha;W) = S_T(v;W)$