Existe-t-il une notion de catégorie dg projective ?

Question

Depuis l'article Schémas non commutatifs lisses et propres et collage des catégories DG d'Orlov, les catégories dg sont considérées comme la contrepartie non commutative de la géométrie algébrique. Plus précisément, nous appelons une catégorie dg un schéma non commutatif s'il s'agit d'une sous-catégorie dg admissible de la catégorie dg$\mathfrak{Perf}(X)$pour un schéma projectif lisse$X$. Or, de nombreuses propriétés d'un schéma$X$défini sur un champ$k$peut être traduit en propriétés de la catégorie$\mathfrak{Perf}(X)$(une amélioration dg de$Perf(X)$), par exemple

(1) le régime$X$est bon sur$k$si et seulement si pour tout$E,F \in \mathfrak{Perf}(X)$nous avons (ici j'identifie$E$et$F$avec leur image dans la catégorie d'homotopie de$\mathfrak{Perf}(X)$, qui par définition est$Perf(X)$)$$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} \text{dim} \, \text{Hom}_{Perf(X)}(E,F[n]) < +\infty$$

(2) le régime$X$est lisse$k$si et seulement si le bimodule diagonal associé à$\mathfrak{Perf}(X)$est parfait dans la catégorie dérivée de$\mathfrak{Perf}(X)-\mathfrak{Perf}(X)$bimodules.

À partir de ce qui précède, on peut alors généraliser ces notions à cela et à des catégories dg lisses et appropriées. Ma question est de savoir s'il existe une analogie similaire pour la notion de schéma projectif, et donc la notion de "catégorie dg projective".

Merci d'avance.

Answer 1

Si$X$est un triplé projectif lisse avec une courbe flottante$C$alors typiquement la variété$Y$obtenu à partir de$X$par un flop dans$C$n'est pas projectif, mais lisse, propre et dérivé équivalent à$X$. Ceci montre que la projectivité n'est pas invariante par équivalence dérivée, donc ne correspond pas à une propriété de la catégorie dérivée.