Explication intuitive de l'inverse d'une matrice de permutation

Question

Aujourd'hui en cours, nous avons appris que la transposée d'une matrice de permutation est l'inverse de la matrice de permutation. Sens,$$P^{T}P = I$$

Je peux travailler les mathématiques par multiplication matricielle, mais je préférerais une compréhension plus profonde et plus intuitive.

Ce que j'ai jusqu'à présent dans ma tête, c'est:

Nous savons que la matrice $P$ va échanger des lignes lorsque nous l'appliquons à une matrice, disons $A$. ensuite$PA$ échangera le $i^{th}$ rangée de A avec le $j^{th}$ de $A$.

Cela signifie alors que $P^{T}(PA)$ doit échanger notre nouveau $i^{th}$ rangée avec le nouveau $j^{th}$ rangée pour que nous puissions avoir notre original $A$matrice de retour. Pourquoi est-ce toujours vrai? Plus précisément pourquoi$P^{T}$ permuter les rangées ...?

Answer 1

Le point clé est que toute matrice de permutation peut être obtenue comme un produit de matrices de permutation élémentaires chacune d'une par échange de multiplication à gauche uniquement $2$ lignes, donc données

$$P=P_{i,j}\cdots P_{h,k}$$

l'opération inverse est donnée par

$$P^{-1}=P_{h,k}\cdots P_{i,j}$$

et puisque les matrices élémentaires de permutation sont symétriques

$$P^{-1}=P_{h,k}\cdots P_{i,j}=(P_{i,j}\cdots P_{h,k})^T=P^T$$

Reportez-vous aux

• Matrice de permutation symétrique

Answer 2

Une matrice de permutation $P$préserve la longueur. Alors$\|Px\|=\|x\|$, qui donne $\langle P^TPx,x\rangle=\langle x,x\rangle$dans le produit intérieur euclidien. C'est assez pour impliquer que$P^TP=I$. Alors,$P^T$ doit annuler tout échange effectué par $P$.