Extension des états

Question

Laisser $X$ être un espace Hausdorff localement compact et $Y$ est un sous-espace compact de $X$. Laisser$\phi$ être un état sur $C(Y)$. Alors pouvons-nous étendre à$\phi$ à $C_0(X)$? Supposons si$T:f \mapsto f|_X$ est l'homomorphisme de $C_0(X)$ à $C(Y)$, puis la carte $\tilde{\phi}=\phi\circ T$ être un état sur $C_0(X)$?

Answer 1

Ok, donc je pense que c'est vrai. Selon mon commentaire, il suffit de vérifier que cette fonctionnelle a la norme 1. La positivité est à son tour équivalente à$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$ pour une (ou une) unité approximative $(e_\lambda)$ pour $C_0(X)$. Donc, pour résoudre cela, trouvons une unité approximative$(e_\lambda)$ qui satisfait $\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$.

Tout comme dans l'article wikipedia pour les algèbres C * (https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras), il y a une unité approximative $(f_K)$, indexés par sous-ensembles compacts $K \subseteq X$ Pour qui $f_K|K = 1$(Extension / lien Tietze dans les commentaires). Avec cette idée à l'esprit, il n'est pas difficile de construire un réseau$(f_K)$, indexés par sous-ensembles compacts $K \subseteq X$ qui contiennent $Y$, tel que $f_K|_K = 1$. Voici notre unité approximative souhaitée:$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$