Fonction bêta pour QED
Quelle est la fonction bêta de l'électrodynamique quantique?
Je ne le trouve nulle part sauf sur l'article de Wikipedia sur les fonctions bêta , où la fonction bêta à une boucle est donnée par:$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ Cependant, en utilisant la définition de la fonction bêta $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ on obtient: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
Après avoir réorganisé $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ et intégrant $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ où $C = -\ln(\mu_0)$ est une constante d'intégration, le résultat est: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ Cela donne des valeurs non négatives croissantes monotones pour $\alpha$ pour $\mu < \mu_0$ avec une singularité à $\mu_0$ (Je suppose que ce serait le pôle Landau).
Cependant, pour toute valeur finie non nulle de $\mu_0$, $\alpha(0)$ semble être $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ tandis que d'un autre côté $\alpha \approx 1/137$ devrait apparaître sur les basses énergies au lieu de zéro.
Où est le piège?
Y a-t-il un terme manquant dans la fonction bêta ci-dessus? Par exemple, remplacer$\alpha^2$ avec $(\alpha - \alpha_0)^2$devrait donner le résultat attendu, mais il ne semble pas être écrit comme ça nulle part. Ce remplacement est-il néanmoins implicite d'une manière ou d'une autre?
Réponses
Tout d'abord, une petite correction à l'algèbre.
Je te suis jusqu'ici.
\ begin {équation} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {équation}
Ensuite, je pense que nous devons procéder avec prudence. La façon dont j'irais serait d'intégrer à partir d'une échelle de référence$\mu_0$ à une échelle d'énergie $q$. Alors \ begin {équation} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {équation } Réorganiser cela donne \ begin {équation} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {équation}
Si vous le souhaitez, vous pouvez réorganiser cela pour obtenir \ begin {équation} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {équation}
En dérivant cela, nous avons implicitement supposé que nous pouvons utiliser une approximation à une boucle de la fonction bêta. Cela nécessite que les soi-disant «grands journaux» n'apparaissent pas. En pratique, cela signifie choisir une échelle de référence$\mu_0$ qui n'est pas trop différente de l'échelle énergétique des processus qui vous intéressent, $q$.
En prenant $q \ll \mu_0$, vous ne respectez pas cette hypothèse et vous devrez reprendre les journaux volumineux dans la fonction bêta.
Ou, vous pouvez choisir une échelle de référence $\mu_0$ qui est aux énergies des expériences qui vous intéressent. Aux basses énergies, $\alpha(\mu_0)$ est petit, et donc $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
Si cela semble insatisfaisant (qu'est-ce que j'entends par grandes énergies?), Notez simplement que $\alpha(q)$ augmentera légèrement en augmentant $q$. Si vous continuez à correspondre$\mu_0$ à l'échelle énergétique $q$, finalement vous atteindrez un point où le $\alpha(\mu_0)$ terme dans le dénominateur ne peut être ignoré pour une plage appréciable de $q$.