Fonction d'onde de particule libre

Question

Selon wiki , la fonction d'onde pour une particule libre est:

$$ \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} $$

qu'avec les restrictions nécessaires et unidimensionnel est devenu:

$$ \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i k \left( x-\frac{h}{2m\lambda} t \right) } $$

1. cette fonction d'onde doit remplir la normalisation, donc $$|A|^2 x \rvert_{-\infty}^\infty = 1 $$ quelque chose d'impossible pour tout $A $?

2. À quel type de particules cette fonction d'onde est-elle applicable?

3. Dans le cas où il est applicable aux photons, nous pourrions comparer avec les ondes électromagnétiques:

$$ Ae^{i k \left( x-vt \right) } $$

(avec $v=c$ dans un espace vide)

on peut voir qu'en newtonien $v$ est un terme lié au milieu, étant une constante universelle dans le cas de l'espace vide, alors qu'en quantique il est $\frac{h}{2m\lambda}$, quelque chose qui ne dépend que des caractéristiques des particules $m$ et $\lambda$. Comment faire correspondre les deux faits?

Answer 1

À propos de votre première question, la fonction d'onde d'une particule libre n'appartient pas à l'espace vectoriel $L_2(\mathbb{R})$ des fonctions ayant le module carré intégrable en $\mathbb{R}$. Formellement, il vit dans un espace vectoriel généralisé, dont les éléments sont appelés «distributions» dans la littérature mathématique. Je ne me souviens pas des détails mathématiques. Cependant, physiquement, cela reflète le principe de Heisemberg. Dans cette représentation, vous connaissez exactement l'élan de la particule, qui est$\hbar k$ (appliquez simplement l'opérateur momentum $-i\hbar \partial/\partial x$à la fonction et vérifiez ce que vous obtenez); donc le principe de Heisemberg stipule que vous avez une incertitude totale sur la position, et en effet la distribution de probabilité dans l'espace est une constante$|A|^2$. La non intégrabilité est une pathologie dans le formalisme du fait que vous n'avez aucune incertitude sur la valeur de momentum.

Venant à la deuxième question: cela peut être appliqué à n'importe quelle particule libre si vous prenez la forme générale $Ae^{i(kx-\omega_k t)}$, où $\omega_k$est la relation de dispersion, qui dépend du problème spécifique. Par exemple, il s'agit d'une solution de l'équation de Schrödinger sans potentiel externe si$\omega_k = \hbar k^2/2m$. Le problème avec les photons est que, étant totalement relativiste ($m=0$) objets qu'ils ne sont pas correctement décrits par l'équation de Schrödinger. En fait, la relation de dispersion correcte pour les phonons n'est PAS$\omega_k=\hbar k^2/2m$ clairement, car cela n'aurait pas de sens étant donné $m=0$. Au lieu de cela, c'est$\omega_k = c k $, comme nous le savons déjà pour les ondes électromagnétiques; mais cela serait cohérent avec une généralisation entièrement relativiste de l'équation de Schrödinger. (Et c'était la question 3 :) J'espère que cela a aidé!)