Fonction exponentielle et monotone intégrale incorrecte.

Question

Je commence par m'excuser pour mon anglais, veuillez corriger si vous trouvez une faute de frappe.

Je suis coincé avec ce problème; Je sais que la réponse devrait normalement être oui, mais je ne suis pas en mesure de le prouver. Quelqu'un peut-il aider (ou donner un contre-exemple)?

Supposer $f$ est une fonction monotone et bornée et $\lambda > 0 $un réel fixe. Supposons aussi que$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) e^{\lambda x}$ est fini.

Question : Comment pouvons-nous prouver que$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{\lambda x} dx$est également fini? Sinon, y a-t-il un contre-exemple?

Je sais que si $f$ n'est pas décroissant, car $a > 0$ on peut conclure en remarquant $\displaystyle\int_{-a}^a f(x) e^{\lambda x} dx \leq \lambda^{-1} f(a)(e^{\lambda a} - e^{-\lambda a})$. Que diriez-vous$f$ non croissant?

Answer 1

L'hypothèse n'est pas vraie

Contre-exemple

Laisser $f(x) = \begin{cases} 1,& \text{if } x < 0 \\ e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \end{cases}$

ensuite $f$ est borné et monotone et $$ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x) e^{\lambda x} = 1$$ mais l'intégrale est clairement infinie

Answer 2

Que diriez-vous de la fonction par morceaux: $$f(x) = \begin{cases} 1 \quad \text{ for } x < 0\\ e^{-\lambda x} \text{ for } x \ge 0\end{cases}$$

Il est borné et non croissant, satisfait la propriété limite à $+\infty$, et l'intégrale diverge.