Formule propositionnelle et traduction

Question

Sur la base de l'abréviation suivante: $A$ - Sanders est le leader; $B$ - La Floride est au sud; $C$ - Joe est le frère de Sanders; $D$ - Sanders est de Floride, traduisez la formule symbolique suivante en anglais naturel.

$A \Rightarrow (B \Rightarrow (C \Rightarrow D))$

J'ai très peu d'expérience pour l'utilisation alternative de "si-alors" et, par conséquent, serais-je très bienvenu si quelqu'un pouvait suggérer des idées sur la façon de le traduire en phrase normale?

Answer 1

La première chose que je ferais est d'éliminer certaines des implications en utilisant le fait que pour tout terme propositionnel $p$ et $q$, l'implication $p \to q$ équivaut logiquement à $\neg p \vee q$, où $\neg$ se lit comme "pas" un $\vee$comme "ou" en anglais naturel; pour une explication de ce fait, vous pouvez consulter ce post MSE . Si je laisse$\equiv$ soit le symbole désignant la relation «est logiquement équivalent à», nous avons les équivalences suivantes:

$$\begin{align} A \to (B \to (C \to D)) &\equiv A \to( B \to (\neg C \vee D))\\ &\equiv A \to (\neg B \vee (\neg C \vee D)) \\ &\equiv A \to (\neg B \vee \neg C \vee D )\end{align} $$

Par conséquent, on pourrait traduire votre formule logique donnée en anglais naturel comme:

Si Sanders est leader, alors soit la Floride n'est pas dans le sud, soit Joe n'est pas le frère de Sanders ou Sanders est de Floride.

Answer 2

$$\begin{align} A \to (B\to (C \to D)) &\equiv A \to ((B \land C) \to D)\\ \\ &\equiv (A\land B \land C) \to D\tag 1\\ \\ &\equiv \lnot (A \land B \land C) \lor D\\ \\ &\equiv (\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C) \lor D\tag 2\\ \\ &\equiv \lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C \lor D\end{align}$$

$(1)$ Ceci est basé sur l'équivalence de $$p \to (q \to r) \equiv (p\land q) \to r$$

$(2)$ ceci est basé sur $(1)$ et le fait que $\lnot p \to q \equiv p \lor q$. (Notez que c'est parce que$p \to q \equiv \lnot p \lor q$.)

Answer 3

Pour développer la réponse de Ricks, $A\rightarrow(B\rightarrow(C\rightarrow D))$, ce qui équivaut à $\lnot A\lor\lnot B\lor\lnot C\lor D$, est à son tour le même que $\lnot (A\land B\land C)\lor D$(en utilisant la loi de Morgans ). Cela peut être raccourci à$(A\land B\land C)\rightarrow D$en utilisant la définition de l'implication mentionnée par Rick.

$(A\land B\land C)\rightarrow D$ se traduit beaucoup plus naturellement en anglais:

Si Sanders est leader, la Floride est dans le sud et Joe est le frère de Sanders, alors Sanders est de Floride.