Hydrodynamique relativiste [fermé]
Considérons le tenseur énergie-moment hydrodynamique en dimensions 3 + 1 dans l'espace avec la métrique de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$. Les coordonnées sont choisies comme$u^\mu = (t; x; y; z)$. Au premier ordre des dérivées, le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire$T^{\mu\nu}=(\epsilon+P)u^\mu u^\nu+P\eta^{\mu\nu}-\eta\Delta^{\mu\alpha} \Delta^{\nu\beta}(\partial_\alpha u_\beta + \partial_\beta u_\alpha -\frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_\lambda u^\lambda)$
Le champ de vecteurs de vitesse $u^\mu$ est normalisé à $u^\mu u_\mu=-1$ et la pression est fonction de la densité d'énergie, $P(\epsilon)$(cette fonction est l'équation d'état). Le coeffcient$\eta(\epsilon)$(également fonction de la densité d'énergie) est connue sous le nom de viscosité de cisaillement. Le projecteur$\Delta^{\mu\nu}$ est défini comme $\Delta^{\mu\nu}=u^\mu u^\nu + \eta^{\mu\nu}$.
(a.) Calculer la trace $ T\equiv \eta_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$
(b.) Quelle serait la trace du terme de viscosité en vrac, que nous avons mis à zéro dès le départ: $T^{\mu\nu}=\dots \zeta\Delta^{\mu\nu}\partial_\lambda u^\lambda.$
Quelqu'un pourrait-il me donner des conseils?
Réponses
Tout d'abord, la trace $\eta_{\mu\nu}T^{\mu\nu} = T^{\mu}_{\mu}$. Échangez simplement le$\nu$ index dans le Tensor Energy-Momentum vers le bas et $\nu = \mu$.
Avec cela, nous avons $$T^{\mu}_{\mu} = (\epsilon + P)u^{\mu}u_{\mu} + P\eta^{\mu}_{\mu} - \eta\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu}(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$
Comme dit, la contraction des quatre vitesses $u^{\mu}u_{\mu} = -1$. De même nous avons$\eta^{\mu}_{\mu} = 4$ (calculez simplement la somme manuellement)
Simplifions d'abord les termes non visqueux du tenseur: $$T^{\mu}_{\mu} = 3P-\epsilon - \eta\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu}(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$
Maintenant, calculons le géant $\Delta$ terme, car c'est un peu long: $$\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu} = (u^{\alpha}u^{\mu}+\eta^{\mu\alpha})(u^{\beta}u_{\mu}+\eta^{\beta}_{\mu})$$ $$ = u^{\alpha}u^{\beta}u^{\mu}u_{\mu} + \eta^{\mu\alpha}u^{\beta}u_{\mu} + \eta^{\mu\alpha}\eta^{\beta}_{\mu} + u^{\alpha}u^{\mu}\eta_{\mu}^{\beta}$$ En utilisant la propriété d'élévation et d'abaissement de la métrique, $$ = -u^{\alpha}u^{\beta} + u^{\alpha}u^{\beta} + \eta^{\alpha\beta} + u^{\alpha}u^{\beta}$$ Alors $$\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu} = u^{\alpha}u^{\beta}+\eta^{\alpha\beta}$$
Donc $$T^{\mu}_{\mu} = 3P-\epsilon - \eta(u^{\alpha}u^{\beta}+\eta^{\alpha\beta})(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$
Ici, nous avons le terme visqueux en expansion: $$(u^{\alpha}u^{\beta}+\eta^{\alpha\beta})(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$ $$ = u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta} + u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} -\frac{2}{3} u^{\alpha}u^{\beta}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda} + \eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta}+ \eta^{\alpha\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} -\frac{2}{3}\eta^{\alpha\beta}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$ $$ = u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta} + u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} + \frac{2}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda} + \partial_{\alpha}u^{\alpha} + \partial_{\beta}u^{\beta} - \frac{8}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$$
D'ici, le fait que $u^{\mu}u_{\mu} = -1 \implies \partial_{\nu}(u^{\mu}u_{\mu}) = 0 \implies u_{\mu}\partial_{\nu}u^{\mu} = 0$, qui tue les deux premiers termes $$= \frac{2}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda} + \partial_{\alpha}u^{\alpha} + \partial_{\beta}u^{\beta} - \frac{8}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$$
À partir de là, puisque tout est un index factice, nous pouvons tous les renommer pour qu'ils soient tous la même variable ($\mu$) et résumez-les tous: $$ = (\frac{2}{3} + 1 + 1 -\frac{8}{3})\partial_{\lambda}u^{\lambda} = 0$$ Ainsi, la trace du terme de viscosité disparaît, et nous nous retrouvons avec $$T^{\mu}_{\mu} = 3P-\epsilon$$
Maintenant, pour calculer le terme supplémentaire $T'^{\mu\nu} = \zeta\Delta^{\mu\nu}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$, $$T'^{\mu}_{\mu} = \zeta \Delta^{\mu}_{\mu}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$$ Nos calculs ci-dessus peuvent nous conduire au fait que $\Delta^{\mu}_{\mu} = 3$ Et ainsi $$T'^{\mu}_{\mu} = 3\zeta\partial_{\mu}u^{\mu}$$ Où $\partial_{\mu}u^{\mu}$ est la quatre divergence de la quatre vitesses.