Isomorphisme des produits directs

Question

Si $G, A, B$ sont des groupes, il n'est pas vrai en général que $G\times A\cong G\times B \implies A\cong B$. Par exemple,$G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\cdots, A=\mathbb{Z}, B=\{1\}$.

Ce qu'il se passe quand $G,A,B$sont limités pour être finis ? Y a-t-il des groupes finis$G,A,B$ tel que $G\times A\cong G\times B$, mais $A\not\cong B$?

Answer 1

Si $G$ satisfait ACC et DCC (conditions de chaîne ascendante et descendante) sur les sous-groupes normaux, qui s'applique lorsque $G$ est fini, alors $A \cong B$.

Thais découle du théorème de Krull-Schmidt , qui est modérément difficile à prouver.