Jacobien de transformation

Question

Dans Bayesian Data Analysis , PDF disponible gratuitement , section 4.1 (page 84, en bas) il y a un commentaire disant:

Si nous avions plutôt construit l'approximation normale en termes de $p(\mu, \sigma^2)$, la seconde matrice dérivée serait multipliée par le jacobien de la transformation de $\log\sigma$ à $\sigma^2$ et le mode changerait légèrement, pour $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Ma question est de savoir comment calculer le Jacobien à partir de $\log\sigma$ à $\sigma^2$? Je peux différencier une fonction par rapport à l'autre mais je ne peux pas concilier le changement de mode déclaré (ce qui me fait penser que je me trompe).

Merci d'avance

Answer 1

Pour la transformation de paramètre$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$le jacobien est $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$et le postérieur change de $p(\mu,\eta)$ dans$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$qui modifie l'emplacement du mode: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ À savoir, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ contre $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$