L'infini comme limite sous une forme indéterminée

Question

Il y a cette limite $$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{\left(x-1\right)^{2}}$$ pour lequel j'ai construit un graphique et je connais la réponse, donc la question n'est pas de savoir comment le calculer, mais de mon observation que lorsque $x$ approches $1$ de la droite, le $\ln x = 0^+ $, mais quand $x$ approches $1$ de la gauche, le $\ln x = 0^-$.

Sur la base de ce fait, même s'il s'agit d'une forme indéterminée $0 : 0$, puis-je déjà dire que la limite n'existe pas ou est-ce que cela ne suffit pas et que je dois la transformer en une forme déterminée? Et si je dois le transformer en une forme déterminée, comment puis-je le faire?

Answer 1

Pour évaluer l'indétermination, il suffit de brancher la valeur limite du numérateur et du dénominateur pour voir qu'elle est sous la forme $\frac 0 0$.

Pour la solution, nous pouvons éviter l'Hospital en $x-1=t \to 0$ obtenir

$$\frac{\ln x}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\ln (1+t)}{t^{2}}=\frac1t\frac{\ln (1+t)}{t}$$

avec $\frac{\ln (1+t)}{t}\to 1$ par conséquent, nous pouvons conclure que la limite n'existe pas.

Answer 2

Vous ne «transformez» pas une expression en une forme indéterminée. Il est une forme indéterminée jusqu'à ce que vous avez calculé sa limite.

Vous avez reconnu une forme indéterminée du type $\dfrac00$, maintenant votre tâche est de l'évaluer. L'Hospital est un moyen.